第九章 9．4　向量应用（教师用书）-2022-2023学年新教材高中数学必修第二册【正禾一本通】同步课堂高效讲义（苏教版2019）

角坐标系 xOy， 若每个单元格长为 1，则 a＝(1，2)，b＝(2，-1)，c＝(3，4)，又 c＝λa＋μb， λ＝11， λ＋2μ＝3， 5 所以(3，4)＝(λ，2λ)＋(2μ，-μ)＝(λ＋2μ，2λ-μ)，即 2λ－μ＝4， 可得 μ＝2， 所以 5 λ-μ＝9 . 5 答案：9 5 ( △ )9．已知△ABC 的顶点 A(-1，2)，B(1，3)，C(4，-1)，在边 AC 上求一点 D，使 S ABD＝1 S 3 △ABC，则 D 点坐标为 ． → 解析：由题，只要AD 1 → ＝ AC 3 即可． → 设点 D 的坐标为(x，y)，当AD 1 → ＝ AC 3 → 1 → ( ， )时，AD ＝ DC 2 －1＋1×4 则 x＝ 2 ＝2 1＋1 3 2 2＋1×（－1） ，y＝ 2 1＋1 2 2，1 ＝1，所以点 D 的坐标为 3 . 2，1 答案： 3 9．4 向量应用 课程标准 核心素养 1. 会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题以及其他实际问题． 2. 体会向量在解决数学和实际问题中的作用． 1. 数学建模、逻辑推理：会用向量方法解决平面几何中的平行、垂直、长度、夹角等问题． 2. 数学建模、数学运算：会用向量方法解决 物理中的速度、力学问题． 知识探究区——注重知识生成过程 知识点一 向量在平面几何中的应用 【情境导入】 问题：通过前面我们学习的向量知识，你认为能够解决哪些平面几何中的问题？ 提示：平面几何中求距离(线段长度)、夹角问题，证明平行、垂直问题，都可以转化为平面向量中的模长、夹角、垂直问题解决． 【知识概括】用向量方法解决平面几何问题的“三步曲” (1) 建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转 化为向量问题； (2) 通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题； (3)把运算结果“翻译”成几何关系． 【要点解读】 用向量解决平面几何问题，就是将几何逻辑推理论证问题转化为向量的运算问题，将 “证”转化为“算”，思路清晰，便于操作． [示例]1．(教材 P39 练习 2 改编)在△ABC 中，点 M，N 分别在线段 AB，AC 上，AM＝2MB， AN＝2NC.求证：MN∥BC. → 证明：设AB → ＝a，AC → ＝b，则BC → ＝AC → -AB ＝b-a. → 又 AM＝2MB，AN＝2NC.所以AM 2 → ＝ AB 3 2 → ＝ a，AN 3 2 → 2 ＝ AC ＝ b. 3 3 → 在△AMN 中，MN → ＝AN → -AM 2 (b－a) ， ( ＝ )3 ( 所以 ) ( ＝ )→ 2 → MN BC 3 → → ( ，即 ) ( 与 )MN BC 共线，故 MN∥BC. [对点练]1．在四边形 ABCD 中， → ＝(1，2) ， → ＝(－4，2) ，求该四边形的面积． AC BD → → → → 解：因为在四边形 ABCD 中，AC ＝(1，2)，BD ＝(-4，2)，AC ·BD ＝0， → 所以四边形 ABCD 的对角线互相垂直，又|AC |＝ 12＋22 ＝ 5 ， → |BD |＝ （－4）2＋22 ＝2 5 ， 所以该四边形的面积为1 → · → ＝1 × 5 ×2 5 ＝5． |AC | 2 |BD | 2 知识点二 向量在物理中的应用 在生活中，你是否有这样的经验： 【情境导入】 两个人共提一桶水，两人手臂夹角越小越省力． 在单杠上做引体向上运动，两臂夹角越小越省力． 问题：你能从数学的角度解释上述现象吗？ 提示：从力的合成与分解方面进行解释，详见教材例 3． 【知识概括】 (1) 物理问题中常见的向量有力、速度、加速度、位移等． (2) 向量的加减法运算体现在力、速度、加速度、位移的合成与分解． (3)动量 mv是向量的数乘运算． (4)功是力 F 与所产生的位移 s 的数量积． 【要点解读】 向量在物理中应用时要注意三个问题 (1)把物理问题转化为数学问题，也就是将物理量之间的关系抽象成数学模型． (2)利用建立起来的数学模型解释和回答相关的物理现象． (3)在解决具体问题时，要明确和掌握用向量方法研究物理问题的相关知识． [示例]2．(教材 P40 习题 9．4 第 2 题改编)河水的流速为 2 m/s，一艘小船以垂直于河岸方向 10 m/s 的速度驶向对岸，则小船在静水中的速度大小为( ) A．10 m/s B．2 26 m/s C．4 6 m/s D．12 m/s 解析：选 B.由题意知|v水|＝2 m/s，|v船|＝10 m/s，作出示意图如图． 所以小船在静水中的速度大小|v|＝ 102＋22 ＝2 2