（讲义）第9章 9.2 9.2.2 向量的数乘-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册(苏教版2019)

9.2.2　向量的数乘 1．掌握向量数乘的定义、运算律，并理解其几何意义．(重点、难点) 2．理解向量共线定理，并判断两个向量是否共线．(重点) 1．在理解向量的数乘几何意义的过程中，发展直观想象素养． 2．在进行向量的线性运算的过程中，发展数学运算素养． 3．在运用向量共线定理证明向量共线的过程中，发展逻辑推理素养． 一只兔子向东一秒钟的位移对应的向量为a，那么它在同一方向上按照相同的速度行走3秒钟的位移对应的向量怎样表示？是3a吗？兔子在相反方向上按照相同的速度行走3秒钟的位移对应的向量又怎样表示？是－3a吗？ 知识点1　向量的数乘定义 一般地，实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的长度和方向规定如下： (1)|λa|＝|λ||a|； (2)若a≠0，则当λ＞0时，λa与a方向相同；当λ＜0时，λa与a方向相反． 实数λ与向量a相乘的运算，叫作向量的数乘． 特别地，当λ＝0时，0a＝0；当a＝0时，λ0＝0． 向量的数乘λa的几何意义：当λ＞0时，把向量a沿着a的相同方向放大或缩小；当λ＜0时，把向量a沿着a的相反方向放大或缩小． 1．λa＝0，一定能得到λ＝0吗？ [提示]　不一定．λa＝0，则λ＝0或a＝0． 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)a＝0，则λa＝0． (　　) (2)对于非零向量a，向量－3a与向量3a方向相反． (　　) (3)对于非零向量a，向量－6a的模是向量3a的模的2倍． (　　) [答案]　(1)√　(2)√　(3)√ 知识点2　向量数乘的运算律 设a，b为向量，λ，μ为实数，则 (1)λ(μa)＝(λμ)a； (2)(λ＋μ)a＝λa＋μa； (3)λ(a＋b)＝λa＋λb． 向量的加法、减法和数乘统称为向量的线性运算． 2．(1)5×(－4a)＝________； (2)a＝e1＋2e2，b＝3e1－2e2，则a＋b＝________． (1)－20a　(2)4e1　[(1)5×(－4a)＝5×(－4)a＝－20a． (2)a＋b＝(e1＋2e2)＋(3e1－2e2)＝4e1．] 知识点3　向量共线定理 一般地，对于两个向量a(a≠0)，b，设a为非零向量，如果有一个实数λ，使b＝λa，那么b与a是共线向量；反之，如果b与a是共线向量，那么有且只有一个实数λ，使b＝λa． 2．向量共线定理中，为什么规定a≠0？ [提示]　当a＝0时，显然b与a共线，此时若b＝0，则存在无数实数λ，使b＝λa；若b≠0，则不存在实数λ使得b＝λa． 3．已知e1和e2不共线，则下列向量a，b共线的序号是________． ①a＝2e1，b＝2e2； ②a＝e1－e2，b＝－2e1＋2e2； ③a＝4e1－e2，b＝e1－e2； ④a＝e1＋e2，b＝2e1－2e2． ②③　[∵e1与e2不共线，∴①不正确； 对于②有b＝－2a；对于③有a＝4b；④不正确．] 类型1　向量数乘的基本运算 【例1】　计算： (1)6(3a－2b)＋9(－2a＋b)； (2)－； (3)6(a－b＋c)－4(a－2b＋c)－2(－2a＋c)． [解]　(1)原式＝18a－12b－18a＋9b＝－3b． (2)原式＝－ ＝a＋b－a－b－a－b－a＝0． (3)原式＝6a－6b＋6c－4a＋8b－4c＋4a－2c＝6a＋2b． 向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，主要是“合并同类项”“提取公因式”，但这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数.向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知量，利用解代数方程的方法求解. [跟进训练] 1．若向量a＝3i－4j，b＝5i＋4j，则－3＋(2b－a)＝________． －16i＋j　[原式＝a－b－3a－2b＋2b－a ＝－a－b＝－(3i－4j)－(5i＋4j) ＝(－11－5)i＋ j＝－16i＋j．] 类型2　向量的共线问题 【例2】　已知非零向量e1，e2不共线． (1)如果＝e1＋e2，＝2e1＋8e2，＝3(e1－e2)，求证：A，B，D三点共线； (2)欲使ke1＋e2和e1＋ke2共线，试确定实数k的值． 1欲证A，B，D三点共线，能否证明与或共线？ 2若ke1＋e2与e1＋ke2共线，则两向量间存在怎样的等量关系？ [解]　(1)证明：∵＝e1＋e2，＝＋＝2e1＋8e2＋3e1－3e2＝5(e1＋e2)＝5， ∴，共线，且有公共点B， ∴A，B，D三点共线． (2)∵ke1＋e2与e1＋ke2共线，∴存在实数λ，使ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)，则(k－λ)e1＝(λk－1)e2，由于e1与e2不共线，只能有∴k＝±1． 1．证明三点共线，通常转化为证明这三点构成的其中两个向量共线，向量共线定理是解决向量共线问