5.4 二次函数与一元二次方程（课件）-2022-2023学年九年级数学下册同步精品课堂（苏科版）

二次函数与一元二次方程 Quadratic functions and quadratic equations in one variable 苏科版九年级下册第5章二次函数 教学目标 01 理解二次函数与相应一元二次方程的关系， 理解二次函数的图像与x轴的交点与相应一元二次方程根的关系 02 掌握直线与抛物线的交点问题， 会判断直线与抛物线的交点个数，并求直线与抛物线的交点坐标 y=ax2+bx+c(a≠0) 与ax2+bx+c=0(a≠0) 01 问题引入 Q1：二次函数y=ax2+bx+c与一元二次方程ax2+bx+c=0有怎样的关系？ 令y=0，得：ax2+bx+c=0 即二次函数y=ax2+bx+c的y=0就是一元二次方程ax2+bx+c=0 以y=x2-3x-4为例，我们再从二次函数图像的角度去研究它们的关系 01 问题引入 Q2：通过y=x2-3x-4的图像，回答问题： （1）二次函数的图像与x轴的交点A、B的坐标分别是A___________，B___________； （2）当x=_________时，函数的值y=0； （3）求方程x2-3x-4=0的解； (-1，0) (4，0) -1或4 x=-1或x=-4 01 问题引入 （4）x2-3x-4=0的解和二次函数y=x2-3x-4与x轴的交点之间有什么关系. 方程的解 = 相应二次函数的图像与x轴交点的横坐标 01 问题引入 Q3：（1）观察二次函数y=x2+x-2、y=x2-6x+9、y=x2-x+1的图像，分别说出一元二次方程x2+x-2=0、x2-6x+9=0、x2-x+1=0的根的情况 两个交点 →两个不同的实数根 一个交点 →两个相同的实数根 没有交点 →没有实数根 01 问题引入 （2）利用判别式验证一元二次方程x2+x-2=0、x2-6x+9=0、x2-x+1=0的根的情况 【分析】 对于x2+x-2=0，=9>0，方程有两个不同的实数根 对于x2-6x+9=0，=0，方程有两个相同的实数根 对于x2-x+1=0，=-3<0，方程没有实数根 问题引入 02 知识精讲 y=ax2+bx+c的图像与x轴有两个交点 y=ax2+bx+c的图像与x轴有一个交点 y=ax2+bx+c的图像与x轴有没有交点 ax2+bx+c=0有两个不同的实数根 ax2+bx+c=0有两个相同的实数根 ax2+bx+c=0没有实数根 =b2-4ac>0 =b2-4ac=0 =b2-4ac<0 二次函数的图像与x轴交点的横坐标 =相应一元二次方程的实数根 二次函数图像与x轴的交点问题 02 知识精讲 二次函数图像与x轴的交点问题 y=ax2+bx+c的图像与x轴有两个交点 y=ax2+bx+c的图像与x轴有一个交点 y=ax2+bx+c的图像与x轴有没有交点 例1、求二次函数y=(x-5)(x-7)的图像与x轴的交点坐标 解：令y=(x-5)(x-7)=0，解得：x=5或x=7 ∴二次函数y=(x-5)(x-7)的图像与x轴的交点坐标是(5，0)和(7，0) 【抛物线与x轴的交点坐标与方程根的关系】 例2、二次函数y=x2-6x+n的部分图像如图所示，若关于x的一元二次方程x²-6x+n=0的一个解x1=1，求另一个解x2 解：∵二次函数的图像与x轴的一个交点为(1，0)，且对称轴为x=3， ∴另一个交点为(5，0) ∵二次函数的图像与x轴交点的横坐标=相应一元二次方程的实数根 ∴x²-6x+n=0的另一个解x2=5 例3、（1）求抛物线y=kx2+(2k+1)x+2图像与x轴的两个交点； （2）若（1）中两个交点的横坐标均为整数，且k为正整数，试求出该二次函数的表达式； 解：（1）令y=kx2+(2k+1)x+2=(kx+1)(x+2)=0，解得：x=-或x=-2 ∴y=kx2+(2k+1)x+2图像与x轴的两个交点为(-，0)，(-2，0) （2）∵（1）中两个交点的横坐标均为整数，且k为正整数 ∴k=1 ∴y=x2＋3x+2 例3、（3）已知抛物线y=kx2+(2k+1)x+2恒过定点，直接写出定点的坐标. 解：（3）∵y=kx2+(2k+1)x+2=(x2+2x)k+x+2恒过定点 ∴x2+2x=0 ∴x=-2或x=0 ∴定点的坐标为(-2，0)或(0，2) 例4、（1）抛物线y=ax2-2x+3与x轴有两个交点，求a的取值范围； 【“”的应用】 解：（1）∵抛物线y=ax2-2x+3与x轴有两个交点 ∴=4-12a>0且a≠0，解得：a<且a≠0 例4、（2）已知抛物线y=4x2+2x+c，且当-1<x<1时，抛物线与x轴有且只有一个公共点，求c的取值范围. 解：（2）∵当-1<x<1时，y=4x2+2x+c与x轴有且只有一个公共点 ∴①当=4-16c