5.5课时2 抛物线形问题-【初中必刷题】2025-2026学年九年级下册数学同步课件(苏科版)

该初中数学课件聚焦九年级下册“用二次函数解决抛物线形问题”，通过大门、拱桥、运动轨迹等生活实例导入，衔接二次函数表达式知识，以例题解析搭建从实际问题到数学建模的学习支架。 其亮点在于真实情境分层设计，结合数学眼光观察现实（如隧道灯带安装），数学思维推理（求函数表达式、范围），数学语言建模（坐标系应用）。实例有抛物线形大门测量求高，培养抽象能力与模型观念。学生能联系实际激发兴趣，教师可分层教学提升效率。

数 学 九年级下册 SK 1 2 3 第5章 二次函数 4 5.5 用二次函数解决问题 课时2 抛物线形问题 5 刷基础 刷提升 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 基础 知识点1 利用二次函数解决抛物线形物体问题 （第1题图） 1.【2025浙江杭州期末】如图所示，某建筑物有一个抛物线形的大 门，小滨想知道门的高度，他先测出门的宽度 ，然后竖 直放置一根长为的小竹竿 ，小竹竿接触地面和门的内壁，并 测得，则门高 为( ) B A. B. C. D. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 7 【解析】，， 点，， 可设抛物线的表 达式为，， 点 ，，解得， 抛物线的表达式为 ，当时，， 门高 为 .故选B. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 8 方法技巧 抛物线形问题可通过已知条件中的数据，求出各关键点的坐标，从而求出抛物线 的表达式. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 9 （第2题图） 2.【2025江苏盐城期末】如图是一个面碗的截面图，碗身可近似 看作抛物线，以碗底为原点建立平面直角坐标系，已知碗口 宽，碗深 ，则当满碗汤面的竖直高度下降 时，碗中汤面的水平宽度为____ （碗的厚度不计）. 20 【解析】设抛物线表达式为.根据题意得 ， ，， 抛物线表达式为 .当满碗汤面的竖直高度 下降时，汤面高度为，将 代入表达式，得 ，， 碗中汤面的水平宽度为 .故答案为 20. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 10 3.【2025陕西渭南期中】如图是一座拱桥，当水面宽 为 时，桥洞顶部离水面 ，已知桥洞的拱形是抛物线 的一部分，按图中所示方式建立平面直角坐标系. （1）求抛物线的表达式； 【解】根据题意，得抛物线的顶点坐标为 ，可设抛物线的表达式为 .把代入，得，解得， 抛物线的表达 式为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 11 （2）若有一艘船准备从桥下穿过，船露出水面部分（截面为矩形）的高为 ， 当船露出水面部分的宽度小于多少米时，船能安全穿过桥洞？ 【解】当时，，解得，， 当船露出水面部 分的宽度小于 时，船能安全穿过桥洞. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 12 知识点2 利用二次函数解决抛物线形运动轨迹问题 4.一位篮球运动员在与篮圈中心的水平距离为 处投篮，球 沿一条抛物线运动，当球运动的水平距离为 时，达到最大 高度 ，然后准确落入篮筐内.已知篮圈中心距离地面的高 度为 ，在如图所示的平面直角坐标系中，下列说法正确 的是( ) A A.此抛物线的表达式是 B.篮圈中心的坐标是 C.此抛物线的顶点坐标是 D.篮球出手时离地面的高度是 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 13 【解析】A选项， 抛物线的顶点坐标为， 可设抛物线的表达式为 .由题图知篮圈中心 在抛物线上，将它的坐标代入上式，得 ，， ，故本选项正确;B选项，由 题图知，篮圈中心的坐标是 ，故本选项错误；C选项，由题图知，此抛物 线的顶点坐标是 ，故本选项错误；D选项，设这次投篮时，篮球出手处离地 面的高度为.， 当 时， , 篮球出手时离地面的高度是 ，故本选项 错误.故选A. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 14 知识拓展 同一个抛体运动，建立的平面直角坐标系的位置不同，得到的抛物线表达式也不 同，但实际上最高点距地面的高度、落地最远距离等相同. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 15 5.【2024江苏南京玄武区质检】如图，某跳水运动员在10米跳 台上进行跳水训练，水面边缘点的坐标为 ，运动员 （将运动员看成一点）在空中运动的路线是经过原点 的抛物 线.在跳某个规定动作时，运动员在空中最高处 点的坐标为 ，正常情况下，运动员在距水面高度5米之前，必须完成规定的动作，并调 整好入水姿势，否则就会失误，运动员入水后，运动路线为另一条抛物线. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 16 （1）求运动员在空中运动时对应抛物线的表达式，并求出入水处点 的坐标. 【解】运动员在空中最高处点的坐标为，点为抛物线的顶点， 设该 抛物线的表达式为 . 该抛物线经过点，，解得， 运动员在空中运动时对 应抛物线的表达式为 . 跳水运动员在10米跳台上进行跳水训练， 令，即 ， 解得或（舍去）， . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 17 （2）若运动员在空中调整好入水姿势时，恰好距点 的水平距离为4米，问该运动 员此次跳水会不会失误？通过计算说明理由. 【解】该运动员此次跳水不会失误.理由： 运动员在空中调整好入水姿势时，恰好距点的水平距离为4米，点 的坐标为 ， 运动员在空中调整好入水姿势时的点的横坐标为3. 当时，，此时，运动员距水面的高度为 （米）. ， 该运动员此次跳水不会失误. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 18 提升 1.【2025浙江衢州期中，中】如图（1）是玻璃水杯的截面图，其左右轮廓线 ，为某抛物线的部分，杯口，杯底，且 ，杯深 .如图（2），将盛有部分水的水杯倾斜 ，水面正好经过点 （即）.嘉淇在图（1）中建立了平面直角坐标系（抛物线的顶点在 轴上），对于下列结论，其中不正确的是( ) 图（1） 图（2） 刷提升 返回目录 1 2 3 1 2 3 19 A.轮廓线，所在拋物线的表达式为 B.直线的表达式为 C.点到杯口的距离为 D.点到点的距离为 √ 刷提升 返回目录 1 2 3 1 2 3 20 【解析】由题意得，，， .设 轮廓线，所在抛物线的表达式为，记与 轴的 交点为，如图，把,代入得 解 得，故A正确. ， ，，.设直线 的 表达式为，把,代入,得 解 得 直线的表达式为 ，故B正确.令 刷提升 返回目录 1 2 3 1 2 3 21 ，解得，（舍去），当 时， ，， 点到杯口的距离为 ，故C不正确. ，故D正确.故选C. 刷提升 返回目录 1 2 3 1 2 3 2.【2025山东临沂调研，中】小明将小球从斜坡 点处抛 出，球的抛出路线可以看作二次函数 图像 的一部分，斜坡可以看作一次函数 图像的一部分， 如图建立平面直角坐标系，小球能达到的最高点的坐标为 .、 （1）请求出和 的值； 【解】由题意可知 ， ，解得， . 刷提升 返回目录 1 2 3 1 2 3 23 （2）小球在斜坡上的落点为，求点 的坐标； 【解】令，解得（舍去），.将代入 得 ， 点的坐标为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 1 2 3 24 （3）点是小球从起点到落点抛物线上的动点，连接，，当 的面积 最大时，求点 的坐标. 【解】如图，过点作轴的平行线，交线段于 . 刷提升 返回目录 1 2 3 1 2 3 25 设， ， ， . ， 抛物线开口向下， 当时， 的面 积最大,此时点的坐标为 . 关键点拨 过点作轴的平行线，交线段于，利用 列式是解题 的关键. 刷提升 返回目录 1 2 3 1 2 3 刷素养 走向重高 3.核心素养 模型观念 ［较难］根据以下素材，探索完成任务. 如何确定隧道中警示灯带的安装方案 素材1 隧道顶部横截面可视为抛物线，如图（1），隧道 底部宽为，高为 _________________________________ 图（1） 刷提升 返回目录 1 2 3 1 2 3 27 如何确定隧道中警示灯带的安装方案 素材2 拟在隧道顶部安装上下长度为 的警示灯带， 沿抛物线安装（如图（2））.为了实效，相邻两条 灯带的水平间距均为 （灯带宽度可忽略）；普 通货车的高度大约为 （载货后高度），货车顶 部与警示灯带底部的距离应不少于 .灯带安装 好后成轴对称分布 ______________________________________________ 图（2） 问题解决 续表 刷提升 返回目录 1 2 3 1 2 3 28 任务1 确定隧道形状 在图（1）中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式 【解】以为原点，以所在直线为轴，以 所在 直线为 轴建立如图（1）所示的直角坐标系. 顶点的坐标为， 设抛物线的表达式为 . 把代入表达式，得 ，解得 ， 抛物线的函数表达式为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 1 2 3 29 任务2 探究安装范围 在你建立的坐标系中，在安全的前提下，确定灯带安装点的 横、纵坐标的取值范围 【解】普通货车的高度大约为 ，货车顶部与警示灯带底部的距离应不少于 ， 安装点的纵坐标.当 时， ，，安装点的横坐标的取值范围是 . 关键点拨 根据普通货车的高度大约为 ，货车顶部与警示灯带底部的距离应不少于 ，计算安装点的纵坐标大于等于 . 刷提升 返回目录 1 2 3 1 2 3 30 任务3 拟定设计方案 给出一种符合所有安装条件的灯带数量，并根据你所建立的 坐标系，求出最右边一条灯带安装点的横坐标 【解】方案一：如图（2）（坐标系的横轴），从顶点处开始安装灯带. ，相邻两条灯带安装点的水平间距均为， 顶点一侧安装4条 灯带时，，顶点一侧安装3条灯带时，， 顶点一侧 最多安装3条灯带. 灯带安装后成轴对称分布， 共可安装7条灯带， 最右边一 条灯带的横坐标为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 1 2 3 31 方案二：如图（3）（坐标系的横轴） 顶点一侧安装5条灯带时， ，顶点一侧安装4条灯带时，， 顶 点一侧最多安装4条灯带. 灯带安装后成轴对称分布， 共可安装8条灯带， 最 右边一条灯带的横坐标为 .（由于任务1中建立坐标系方法不唯 一，故任务1、任务2、任务3答案不唯一） 图（3） 刷提升 返回目录 1 2 3 1 2 3 32 $