5.5 用二次函数解决问题课件2024-2025学年苏科版数学九年级下册

残缺抛物线 例1.若二次函数 的部分图象如图所示,则关于x的一元二次方程 的一个解 ， 另一个解 ； y O x 1 3 -1 x2=-1 中考点击 已知抛物线y=x2-6x+5的部分图象如图,则抛物线 的对称轴为直线x= , 满足y<0的x取值范围是 , 当抛物线向 平移 个单位, 可得到抛物线y=x2-6x+9 (常州) 5 1 2 3 x y o -4 3 5 1<x<5 上 4 练习:（新疆）抛物线y=-x2+bx+c的部分图象如图所示，若y＞0，则x的取值范围是_______. 情境导学 音乐喷泉很美，知道是怎样设计的吗？ 实际问题 数学问题 实际问题 数学问题 某地要建造一个圆形喷水池,在水池中央垂直于水面安装一个饰柱OA,O恰在水面中心,柱子顶端A处的喷头向外喷水,水流在各个方向沿形状相同的抛物线路径落下,形状如图①.在如图②的直角坐标系中,水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m) 之间的关系式满足 . (1)求OA的高度; (2)求喷出的水流距水平面的最大高度;如果不计其 他因素,那么水池半径至少为多少时,才能使喷出的 水流不落在水池外? 展示预学 O x y A 例1.在体育测试时,初三的一名高个子男生推铅球,已知铅球所经过的路线是某个二次函数的图象的一部分（如图）,如果这个男生的出手处A点坐标为（0,2）,铅球路线的最高处B的坐标为（6,5）. （1）求这个二次函数的解析式. y x O C 2 B(6,5) A 合作研学 y x O C 2 B(6,5) A 即 y= x2+x+2 解:（1）∵抛物线的顶点为（6，5） ∴可设抛物线的解析式为 y=a（x-6）2+5. ∵抛物线经过点A（0，2） ∴2=a（0-6） 2 +5 ∴a= 故抛物线的解析式为y= （x-6）2+5 例1.在体育测试时，初三的一名高个子男生推铅球，已知铅球所经过的路线是某个二次函数的图象的一部分（如图），如果这个男生的出手处A点坐标为（0，2），铅球路线的最高处B的坐标为（6，5）. (2)该男生把铅球推出去多远？(精确到0.01米) y x O C 2 B(6,5) A （2）当y=0时， x2+x+2=0 即 x2-12x-24=0. 解得:x1≈13.74, x2≈-1.74(负值舍去) …… 合作研学 x y o 3.05m (2)水平距离是4米 (1)最大高度是3.5米. 如图,一位篮球运动员跳起投篮,球沿抛物线 运行,然后准确落入篮筐内. 已知篮筐的中心距离地面的距离为3.05米. (1)求球在空中运行的最大高度为多少米? (2)如果该运动员跳投时，球出手离地面的高度 为2.25米，请问他距离篮框中心的水平距离是多少? 归纳拓学 检测评学 1.函数y=-x2+4x-3中,若0≤x≤1， 则函数y的最大值为 ,最小值为 . 2. 某公司推出了一种高效环保型洗涤用品,年初上市后,公司经历了从亏损到盈利的过程,如图的二次函数图象(部分)刻划了该公司年初以来累积利润S(万元)与销售时间t(月)之间的关系(即前t个月的利润总和S和t之间的关系),根据图象信息,解答下列问题. (1)由已知图象上的两点坐标, 求累积利润S(万元)与销售 时间t(月)之间的函数关系式; (2) 求止几月末公司累积利润可达到30万元; (3) 求第8个月公司所获利润是多少万元. S(万元) t(月) O 2 -2 2.如图,一位篮球运动员跳起投篮,球沿抛物线 运行,然后准确落入篮筐内. 已知篮筐的中心距离地面的距离为3.05米. (1)求球在空中运行的最大高度为多少米? (2 )如果该运动员跳投时，球出手离地面的高度 为2.25米，请问他距离篮框中心的水平距离是多少? 某公司推出了一种高效环保型洗涤用品,年初上市后,公司经历了从亏损到盈利的过程,如图的二次函数图象(部分)刻划了该公司年初以来累积利润S(万元)与销售时间t(月)之间的关系(即前t个月的利润总和S和t之间的关系),根据图象信息,解答下列问题. (1)由已知图象上的两点坐标, 求累积利润S(万元)与销售 时间t(月)之间的函数关系式; S(万元) t(月) O 2 -2 归纳拓学 某公司推出了一种高效环保型洗涤用品,年初上市后,公司经历了从亏损到盈利的过程,如图的二次函数图象(部分)刻划了该公司年初以来累积利润S(万元)与销售时间t(月)之间的关系(即前t个月的利润总和S和t之间的关系),根据图象信息,解答下列问题. (2) 求止几月末公司累积利润可达到30万元; S(万元) t(月) O 2 -2 归纳拓学 这节课，我的收获是--- 小结与回顾 例1.某地要建造一个圆形喷水池,在水池中央垂直 于水面安装一个饰柱OA,O恰在水面中心,柱子顶端 A处的喷头向外喷水,水流在各个方向沿形状相同 的抛物线路径落下,形状如图①.在如图②的直角 坐标系中,水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m) 之间的关系式满足 . (1)求OA的高度; (2)求喷出的水流距水平面的最大高度;如果不计其 他因素,那么水池半径至少为多少时,才能使喷出的 水流不落在水池外? O A O x y A 例2.在体育测试时,初三的一名高个子男生推铅球,已知铅球所经过的路线是某个二次函数的图象的一部分（如图）,如果这个男生的出手处A点坐标为（0,2）,铅球路线的最高处B的坐标为（6,5）. （1）求这个二次函数的解析式. 实际问题 数学问题 ------铅球所经过的路线. y x O C 2 B(6,5) A 求:抛物线的解析式 已知:抛物线的顶点坐标（6,5）,并经过A（0,2） 例2. 在体育测试时，初三的一名高个子男生推铅球，已知铅球所经过的路线是某个二次函数的图象的一部分（如图），如果这个男生的出手处A点坐标为（0，2），铅球路线的最高处B的坐标为（6，5）. (2)该男生把铅球推出去多远？(精确到0.01米) y x O C 2 B(6,5) A （2）当y=0时， y= （x-6）2+5 (x-6)2+5=0 如图,某喷灌设备的喷头B高出地面1.4m,如 果喷出的抛物线形水流的水平距离x(m)与高y(m)之间的关系为二次函数y=a(x-4)2+3.求水流落地点D与喷头底部A的距离(精确到0.1m, ) y x o B D (A) 解: 因为水流抛物线对应的 二次函数为y=a(x-4)2+3, 且抛物线经过点B(0,1.4), 所以: 1.4=a(0-4)2+3 解得a=-0.1. 所以: y=-0.1(x-4)2+3 把y=0代入得: -0.1(x-4)2+3=0 解得x1≈-1.5(负值舍去),x2≈9.5 答:水流落地点与喷头底部的距离约为9.5m. 例3.某地要建造一个圆形喷水池,在水池中央垂直 于水面安装一个饰柱OA,O恰在水面中心,柱子顶端 A处的喷头向外喷水,水流在各个方向沿形状相同 的抛物线路径落下,形状如图①.在如图②的直角 坐标系中,水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m) 之间的关系式满足 . (1)求OA的高度; (2)求喷出的水流距水平面的最大高度;如果不计其 他因素,那么水池半径至少为多少时,才能使喷出的 水流不落在水池外? O A O x y A 例4. 某农场为防风治沙,在一山坡上种植一片树苗,并安装了自动喷灌设备.已知喷水头喷出的水流呈抛物线形,如图所示.已知喷水头B高出地面1.5m,水流最高点C的坐标为(2,3.5),喷水管与山坡的夹角∠BOA为60°,计算水喷出后落在山坡上的最远距离. y x O A B C 60° D 设AD=K，则OD= ∴A（ ， ） 例5. 某公司推出了一种高效环保型洗涤用品,年初上市后,公司经历了从亏损到盈利的过程,如图的二次函数图象(部分)刻划了该公司年初以来累积利润S(万元)与销售时间t(月)之间的关系(即前t个月的利润总和S和t之间的关系),根据图象信息,解答下列问题. (1)由已知图象上的两点坐标, 求累积利润S(万元)与销售 时间t(月)之间的函数关系式; S(万元) t(月) O 2 -2 例5. 某公司推出了一种高效环保型洗涤用品,年初上市后,公司经历了从亏损到盈利的过程,如图的二次函数图象(部分)刻划了该公司年初以来累积利润S(万元)与销售时间t(月)之间的关系(即前t个月的利润总和S和t之间的关系),根据图象信息,解答下列问题. (1)由已知图象上的两点坐标, 求累积利润S(万元)与销售 时间t(月)之间的函数关系式; S(万元) t(月) O 2 -2 例5 .某公司推出了一种高效环保型洗涤用品,年初上市后,公司经历了从亏损到盈利的过程,如图的二次函数图象(部分)刻划了该公司年初以来累积利润S(万元)与销售时间t(月)之间的关系(即前t个月的利润总和S和t之间的关系),根据图象信息,解答下列问题. (2) 求止几月末公司累积利润可达到30万元; S(万元) t(月) O 2 -2 例5 .某公司推出了一种高效环保型洗涤用品,年初上市后,公司经历了从亏损到盈利的过程,如图的二次函数图象(部分)刻划了该公司年初以来累积利润S(万元)与销售时间t(月)之间的关系(即前t个月的利润总和S和t之间的关系),根据图象信息,解答下列问题. (3) 求第8个月公司所获利润是多少万元. S(万元) t(月) O 2 -2 练习：(09年青岛)某水产品养殖企业为指导该企业某种水产品的养殖和销售,对历年市场行情和水产品养殖情况进行了调查.调查发现这种水产品的每千克售价y1(元)与销售月份x(月)满足关系式 ,而其每千克成本y2(元)与销售月份x(月)满足的函数关系如图所示． (1)试确定b、c的值； 25 24 y2（元） X(月) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 O 练习：(09年青岛)某水产品养殖企业为指导该企业某种水产品的养殖和销售,对历年市场行情和水产品养殖情况进行了调查.调查发现这种水产品的每千克售价y1(元)与销售月份x(月)满足关系式 ,而其每千克成本y2(元)与销售月份x(月)满足的函数关系如图所示． (1)试确定b、c的值； (2)求出这种水产品每千克的 利润y(元)与销售月份x(月) 之间的函数关系式； 25 24 y2（元） X(月) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 O 每千克售价y1(元)与销售月份x(月)满足关系式 而其每千克成本y2(元)与销售月份x(月)满足的函数关系如图所示． (2)求出这种水产品每千克的 利润y(元)与销售月份x(月) 之间的函数关系式； (3)“五·一”之前，几月份出售 这种水产品每千克的利润最大？ 最大利润是多少？ 25 24 y2（元） X(月) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 O 每千克售价y1(元)与销售月份x(月)满足关系式 而其每千克成本y2(元)与销售月份x(月)满足的函数关系如图所示． (2)求出这种水产品每千克的 利润y(元)与销售月份x(月) 之间的函数关系式； (3)“五·一”之前，几月份出售 这种水产品每千克的利润最大？ 最大利润是多少？ 25 24 y2（元） X(月) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 O ∵ ，∴抛物线开口向下． 在对称轴x=6左侧,y随x的增大而增大． 由题意x<5,所以在4月份出售这种水产品每千克的利润最大． …… 再见 3.某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品.据市场分析,若按每千克50元销售,一个月能售出500千克;销售单价每涨1元,月销售量就减少10千克.针对这种水产品的销售情况,请解答以下问题: (1)设销售单价为每千克x元,月销售利润为y 元,求y与x的函数关系式(不必写出x的取值围); (2)商店想在月销售成本不超过10000元的情 况下,使得月销售利润达到8000元,销售单价应定为多少? (80元) (3)试问:销售单价定为多少时,该商店可获得最大 利润?最大毛利润是多少?此时的销售量是多少? $$ 5.5用二次函数解决问题(1) 1.当x= 时, y=3（x-5）2+6 有最 ____值，最____值= . 回味练习： 2.当x= 时,y=-2x2+8x-7有最___值， 最___值为 . 5 6 2 1 小 小 大 大 例1. 已知矩形的周长等于10cm,一边长为xcm,面积为ycm2,求y与x的函数关系式,并指出当x为多少时,其面积最大？最大面积是多少？ 解: y=x(5-x) =-(x-2.5)2+6.25 答:当x为2.5时,其面积最大，最大面积是6.25cm2 如图,有长为24m的篱笆,一面利用墙,围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃.设花圃的宽AB为x m,面积为S m2． （1)求S与x的函数关系式； （2)如何围法才能使矩形花圃的面积最大?请说明理由． 练习： S=x(24-3x)=-3x2+24x S=-3(x-4)2+48 例2.某种粮大户去年种植优质水稻360亩,平均每亩收益440元，他计划今年多承租若干亩稻田,预计原种植的360亩稻田平均每亩不变，新承租的稻田地每增加1亩比去年平均收益少2元.该种植大户今年应多承租多少亩水稻,才能使总收益最大? y=440×360+(440-2x)●x =-2x2+440x+158400 =-2(x-110)2+182600 当x=110时,y有最大值182600 答:今年多承租110亩稻田,总收益最大为182600元. 解:设今年多承租x亩稻田,总收益为y元. 例3. 某鱼塘里饲养了鱼苗10千尾，预计平均每千尾鱼的产量为1000kg．若再向该鱼塘里投放鱼苗，每多投放鱼苗1千尾，每千尾鱼的产量将减少50kg. 应再投放鱼苗多少千尾才能使总产量最大？最大总产量是多少？ 书30页练习题 　　1.某建筑物的窗户如图所示，它的上半部是半圆，下半部是矩形，制造窗框的材料总长（图中所有黑线的长度和）为10米．求当x等于多少米时，窗户的透光面积最大，最大面积是多少？ 练一练： 5.4　用二次函数解决问题（1） 　　2.某商品的进价为每件40元．当售价为每件60元时，每星期可卖出300件，现需降价处理，且经市场调查：每降价1元每星期可多卖出20件．在确保盈利的前提下，解答下列问题： （1）若设每件降价x元、每星期售出商品的利润为y 元，请写出y与x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围； （2）当降价多少元时，每星期的利润最大？最大利润是多少？ （3）请画出上述函数的大致图像． 练一练： 5.4　用二次函数解决问题（1） 某产品每件的成本价是120元,试销阶段,每件产品的销售价格x(元)与产品的日销售量y(件)之间的关系如下表： x（元） 130 150 165 y（件） 70 50 35 (1)则y与x的函数关系式为__________； y=-x+200 若销售量y是销售价格x的一次函数. 某产品每件的成本价是120元,试销阶段,每件产品的销售价格x(元)与产品的日销售量y(件)之间的关系如下表： x（元） 130 150 165 y（件） 70 50 35 (2)若要获得最大的销售利润,每件产品的销售价格定为多少元？此时每日的销售利润是多少？ 设销售利润为W,则 W=(x-120)·y =(x-120)·(-x+200) =-x2+320x-24000 W=1600 则:…… 若销售量y是销售价格x的一次函数. y=-x+200 例4.某旅社有客房120间,每间房间的日租金为50元,每天都客满,旅社装修后要提高租金,经市场调查,如果一间客房的日租金每增加5元,则客房每天出租会减少6间,不考虑其它因素,旅社将每间客房的日租金提高到多少元时,客房日租金总收入最高？比装修前的日租金的总收入增加多少元？ 解:设日租金提高x元,客房日租金总收入为y元 ∴50+x=75 拓展与提高１： 随着近几年城市建设的快速发展，对花木的需求量逐年提高。某园林专业户计划投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润y1与投资量x成正比例关系，如图①所示；种植花卉的利润y2与投资量x成二次函数关系，如图②所示（注：利润与投资量的单位：万元） （1）分别求出利润y1与y2关于投资量x的函数关系式； （2）如果这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木，他至少获得多少利润？他能获取的最大利润是多少？ 花卉 树木 解：设花卉投资为x万元，则树木投资为（８－x）万元，总利润为y万元． y 至少获得利润１４万元 最大利润是32万元 作业： 书32页第4题 某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品.据市场分析,若按每千克50元销售,一个月能售出500千克;销售单价每涨1元,月销售量就减少10千克. 试问:销售单价定为多少时,该商店可获得最大利润?最大毛利润是多少?此时的销售量是多少? 2.张经理到老王的果园里一次性采购一种水果，他俩商定：张经理的采购价y (元/吨)与采购量x (吨)之间函数关系的图象如图中的折线段ABC所示(不包含端点A，但包含端点C)。(1)求y与x之间的函数关系式； (2)已知老王种植水果的成本是2800元/吨，那么张经理的采购量为多少时，老王在这次买卖中所获的利润w最大？最大利润是多少？ y x 0 4000 8000 20 40 A B C (20,8000) (40,4000) (1)当0<x≤20 y=8000 当20<x≤40 y=-200x+12000 (2)当0<x≤20 利润w=(8000-2800)x w=5200x 当20<x≤40 利润w=(-200x+12000-2800)x w=-200(x-23)2+105800 当x=20 w最大值=5200×20=104000元 当x=23 w最大值=105800元 答:(1)…(2)… 拓展与提高 这节课，我的收获是--- 小结与回顾 $$用二次函数解决问题（3） ——拱桥问题 河上有一座桥孔为抛物线拱桥, 水面离桥孔顶部3m ,水面宽6m. (1)试在恰当的直角坐标系中求出与该抛物线桥拱对应的二次函数关系式; (2)因降暴雨水位上升1m,此时水面宽多少(精确到0.1m)? x y O A B D C 拱桥问题 --建立坐标系 问题研究 问题1 一座抛物线拱桥,桥下的水面 离桥孔顶部3m时,水面宽6m. x y O A B D C (3)一艘装满防汛器材的船在这条河流中航行,露出水面部分的高为0.5m,宽为4m.当水位上升1m时,这艘船能从桥下通过吗? 大 小 E F 见书31页拓展与延伸 问题二： 　　闻名中外的赵州桥是我国隋朝工匠发明并建造的一座扁平抛物线形石拱桥，石拱桥跨径36m，拱高约8m．试在恰当的平面直角坐标系中求出与该抛物线对应的二次函数表达式． 5.4　用二次函数解决问题（2） 　1.下图是泰州某河上一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞上沿是抛物线形状，抛物线两端点与水面的距离都是1m，拱桥的跨度为10m，桥洞与水面的最大距离是5m，桥洞两侧壁上各有一盏距离水面4m的景观灯．若把拱桥的截面图放在平面直角坐标系中（如下图）．　　 　 （1）求抛物线的解析式； 　 （2）求两盏景观灯之间的水平距离． 5.4　用二次函数解决问题（2） 　　2.如图，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度为6米，底部宽度OM为12米．现以O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系． 　　(1)直接写出点M及抛物线顶点P的坐标； 　　(2)求这条抛物线的解析式； 　　(3)若要搭建一个矩形“支撑架”AD－DC－CB，使C、D点在抛物线上，A、B点在地面OM上，则这个“支撑架”总长的最大值是多少？ 5.4　用二次函数解决问题（2） 1.某工厂大门是一抛物线型水泥建筑物，如图所示,大门地面宽AB=4m,顶部C离地面高度为4.4m。现有一辆满载货物的汽车欲通过大门，货物顶部距地面2.8m,装货宽度为2.4m。请判断这辆汽车能否顺利通过大门。 2.如图,隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是8m,宽是2m,抛物线可以用 表示. (1)一辆货运卡车高4m,宽2m,它能通过该隧道吗？ (2)如果该隧道内设双行道，那么这辆货运卡车是否可以通过？ （1）卡车可以通过. 提示:当x=±1时,y =3.75,3.75＋2>4. （2）卡车可以通过. 提示：当x=±2时,y =3,3＋2>4. x y －1 －3 －1 －3 1 3 1 3 O 这节课，我的收获是--- 小结与回顾 由题意得, C(1,0) ,B(0,0.5)且B为抛物线的顶点,从而可以求出抛物线的解析式. 问题2某公园草坪的护栏是由50段形状相同的抛 物线形组成的,为牢固起见,每段护拦需按0.4m的 间距加装不锈钢管(如图)作成的立柱. (1)试在如图所示的直角坐标系中求出与该抛物线对应的二次函数关系式. 0.5m 要求不锈钢立柱的总长度,就要求出B1C1、B2C2、 B3C3、B4C4的长度,即B1 、B2 、B3 、B4纵坐标. B1C1 =B4C4=0.32m B2C2= B3C3=0.48m 问题3某公园草坪的护栏是由50段形状相同的抛 物线形组成的,为牢固起见,每段护拦需按0.4m的间 距加装不锈钢管(如图)作成的立柱. (2)计算所需不锈钢管立柱的总长度. 作业： 书32页第5、6题 $$