专题4.2 相似三角形的应用（重点题专项讲练）-2022-2023学年九年级数学上册从重点到压轴（北师大版）

专题4.2 相似三角形的应用 【典例1】如图，身高1.5米的李强站在A处，路灯底部O到A的距离为20米，此时李强的影长米，李强沿AO所在直线行走12米到达B处． （1）请在图中画出表示路灯高的线段和李强在B处时影长的线段； （2）请求出路灯的高度和李强在B处的影长． 【思路点拨】 （1）利用中心投影的性质画出图形即可； （2）设米，由证得得求出HO的值，再证明得到，从而求解． 【解题过程】 解：（1）如图，即为所求 （2）由题意知：米，米，米， ∴米 设米 ∵ 又∵ ∴ ∴         即         解得， ∵ 又∵ ∴         ∴ 即         解得 答：路灯高度为7.5米，BC长2米 1．（2022·浙江绍兴·模拟预测）如图，身高1.2m的小淇晚上在路灯（AH）下散步，DE为他到达D处时的影子．继续向前走8m到达点N，影子为FN．若测得EF＝10m，则路灯AH的高度为（    ） A．6m B．7m C．8m D．9m 【思路点拨】 设DE=x m，DH=y m，则FN=（10-x-8）m，HN=（8-y）m，根据相似三角形的性质列方程即可得到结论． 【解题过程】 解∶∵CD⊥EF，AH⊥EF，MN⊥EF， ∴， ∴，， ∴，， 设DE=xm，DH=ym，则FN=（10-x-8）m，HN=（8-y）m， ∴，， ∴y=4x， ∴， ∴， ∴AH=6， 故路灯AH的高度为6m． 故选：A． 2．（2022·河北·石家庄二十三中九年级阶段练习）如图，花丛中有一路灯杆AB．在灯光下，小明在D点处的影长DE＝3米，沿BD方向行走到达G点，DG＝5米，这时小明的影长GH＝5米．如果小明的身高为1.7米，则路灯杆AB的高度（精确到1米）为（　　） A．5米 B．6米 C．7米 D．8米 【思路点拨】 由CD∥AB及FG∥AB，分别得△EDC∽△EBA及 △HGF∽△HBA，根据相似三角形的性质得关于AB、BD的方程组，解得BD，AB即可． 【解题过程】 解：∵DC∥AB， ∴△EDC∽△EBA， ∴＝，即＝①， ∵FG∥AB， ∴△HGF∽△HBA， ∴＝，即＝②， ①﹣②得＝，解得BD＝7.5， ∴＝， ∴AB＝5.95≈6（米）． 即路灯杆AB的高度（精确到1米）为6m． 故选：B． 3．（2022·河北·大名县束馆镇束馆中学三模）一种燕尾夹如图1所示，图2是在闭合状态时的示意图，图3是在打开状态时的示意图（数据如图，单位：mm），则从闭合到打开B，D之间的距离减少了（　　） A．25 mm B．20mm C．15 mm D．8mm 【思路点拨】 连接图2、图3中的BD，图2中证明△AEF∽△ABD，利用相似三角形的性质求得BD，在图3中证明四边形EFDB是矩形，求得BD，进而作差即可求解． 【解题过程】 解：如图2，连接BD， ∵AE=CF=28，BE=DF=35    ， ∴，又∠EAF=∠BAD， ∴△AEF∽△ABD， ∴，又EF=20， ∴，解得：BD=45， 如图3，连接BD， ∵BEDF，BE=DF， ∴四边形EFDB是平行四边形， ∵∠BEF=90°， ∴四边形EFDB是矩形，则BD=EF=20， ∴从闭合到打开B，D之间的距离减少了45-20=25（mm）， 故选：A． 4．（2022·全国·九年级专题练习）有一等腰三角形纸片ABC，AB＝AC，裁剪方式及相关数据如图所示，则得到的甲、乙、丙、丁四张纸片中，面积最大的是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【思路点拨】 根据相似三角形的性质求得甲的面积和丙的面积，进一步求得乙和丁的面积，比较即可求得． 【解题过程】 解：如图： ∵AD⊥BC，AB＝AC， ∴BD＝CD＝5+2＝7， ∵AD＝2+1＝3， ∴S△ABD＝S△ACD＝＝ ∵EF∥AD， ∴△EBF∽△ABD， ∴＝（）2＝， ∴S甲＝， ∴S乙＝， 同理＝（）2＝， ∴S丙＝， ∴S丁＝﹣＝， ∵， ∴面积最大的是丁， 故选：D． 5．（2022·江苏无锡·九年级期中）一块直角三角形木板，它的一条直角边长为，面积为，甲、乙两人分别按图①、②把它加工成一个正方形桌面，则①、②中正方形的面积较大的是　　 A．① B．② C．一样大 D．无法判断 【思路点拨】 分别利用平行线分线段成比例及相似三角形的判定及性质求出两个正方形的边长，然后利用正方形的面积公式求出面积，然后进行比较即可． 【解题过程】 解：由长为，的面积为，可得， 如图①，设加工桌面的边长为 ， ， ， 即， 解得：； 如图②，设加工桌面的边长为 ， 过点作，分别交、于点、， ，， ， 的面积为， ， ， ， ， 即， 解得：， ，， ， 即， 故选：． 6．（2022·全国·九年级单元测试）如图，大楼