2020-2021学年上海各区一模压轴题分类汇编-23题

专题 2021年分类汇编-23题 专题一 A字型X型 【历年真题】 1．（2020秋•嘉定区期末）如图，已知矩形DEFG的边DE在△ABC的边BC上，顶点G， F分别在边AB、AC上，△ABC的高AH交GF于点l． （1）求证：BD•EH＝DH•CE； （2）设DE＝n•EF（n为正实数），求证：． 【考点】相似三角形的判定与性质；矩形的性质．版权所有 【专题】证明题；图形的相似；推理能力． 【分析】（1）根据已知条件证明△BDG∽△ABH，△FEC∽△ACH，对应边成比例整理即可得结； （2）根据已知条件证明△AGF∽△ABC，对应边成比例即可证明结论． 【解答】（1）证明：∵四边形DEFG是矩形， ∴GD⊥BC，FE⊥BC，DG＝EF， ∵AH⊥BC，∴GD∥AH∥FE， ∴ ∵GF∥BC ∴ ∴ ∴BD•EH＝DH•CE； （2）证明：∵DF∥BC，∴△AGF∽△ABC，∴， ∵，∴， ∵GF＝DE＝n•EF，∴， ∴． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质，解决本题的关键是掌握相似三角形的判定与性质． 2．（2020秋•金山区期末）已知：如图，四边形ABCD是菱形，点M、N分别在边BC、CD 上，联结AM、AN交对角线BD于E、F两点，且∠MAN＝∠ABD． （1）求证：AB2＝BF•DE； （2）若，求证：EF∥MN． 【考点】相似三角形的判定与性质；菱形的性质．版权所有 【专题】线段、角、相交线与平行线；矩形 菱形 正方形；图形的相似；推理能力． 【分析】（1）由菱形的性质得AB＝AD，则∠ABD＝∠ADB，易证∠AED＝∠BAF，则△AED∽△FAB，得，即AD•AB＝BF•DE，即可得出结论； （2）由菱形的性质得AD＝BC，AD∥BC，则△BME∽△DAE，得，进而证出，则MN∥BD即可． 【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB， ∵∠AED＝∠ABD+∠BAE，∠BAF＝∠MAN+∠BAE，∠MAN＝∠ABD，∴∠AED＝∠BAF， ∴△AED∽△FAB，∴，即AD•AB＝BF•DE， ∴AB2＝BF•DE； （2）∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝BC，AD∥BC， ∴△BME∽△DAE，∴， ∵，∴， ∴，∴MN∥BD， ∴EF∥MN． 【点评】本