4.4 幂函数-【题型分类归纳】2022-2023学年高一数学同步讲与练(人教B版2019必修第二册)

4.4 幂函数 一、幂函数的图象与概念 1、定义：一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． 2、幂函数的特征：（1）xα的系数是1；（2）xα的底数x是自变量；（3）xα的指数α为常数． 只有满足这三个条件，才是幂函数． 对于形如y＝(2x)α，y＝2x5，y＝xα＋6等的函数都不是幂函数． 3、幂函数的图象 同一坐标系中，幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，的图象(如图)． 二、幂函数的性质 1、所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)； 2、如果α＞0，那么幂函数的图象过原点，并且在区间[0，＋∞)上单调递增； 3、如果α＜0，那么幂函数的图象在区间(0，＋∞)上单调递减，在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方无限接近y轴，当x从原点趋向于＋∞时，图象在x轴上方无限接近x轴； 4、在(1，＋∞)上，随幂指数的逐渐增大，图象越来越靠近y轴． 题型一 判断是否为幂函数 【例1】下列函数是幂函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为函数叫做幂函数，其中x是自变量，a是常数， 对于A，是二次函数； 对于B，是一次函数； 对于C，，由前的系数不为，故不是幂函数； 对于D，满足幂函数的概念，故是幂函数.故选D. 【变式1-1】下列函数是幂函数的是（） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】形如（为常数且）为幂函数， 所以，函数为幂函数， 函数、、均不是幂函数.故选：C. 【变式1-2】下列函数中，不是幂函数的是（ ） A．y＝2x B．y＝x－1 C．y＝ D．y＝x2 【答案】A 【解析】不是幂函数；，，为幂函数；故选：A. 【变式1-3】在函数①，②，③，④，，⑥中，是幂函数的是（ ） A．①②④⑤ B．③④⑥ C．①②⑥ D．①②④⑤⑥ 【答案】C 【解析】幂函数是形如（，为常数）的函数， ①是的情形，②是的情形，⑥是的情形，所以①②⑥都是幂函数； ③是指数函数，不是幂函数；⑤中的系数是2，所以不是幂函数； ④是常函数，不是幂函数.故选：C. 题型二 求幂函数的解析式 【例2】（多选）如果幂函数的图象不过原点，则实数的取值为（ ） A． B． C． D．无解 【答案】BC 【解析】由已知可得，解得或.故选：BC. 【变式2-1】若幂函数的图像经过点，则此幂函数的表达式是___________. 【答案】 【解析】将代入函数得，解得， 所以此幂函数的表达式是. 故答案为：. 【变式2-2】已知幂函数在上单调递增，则的解析式是_____. 【答案】 【解析】是幂函数， ，解得或， 若，则，在上不单调递减，不满足条件； 若，则，在上单调递增，满足条件； 即. 【变式2-3】幂函数在上为增函数，则______． 【答案】 【解析】幂函数满足，解得或4. 当时，在上是减函数，不满足题意； 当时，在上是增函数， 所以，故，则. 故答案为：. 【变式2-4】已知幂函数的图象关于y轴对称，则___________． 【答案】4 【解析】由于是幂函数，所以，解得或. 当时，，图象关于轴对称，符合题意. 当时，，图象关于原点对称，不符合题意. 所以的值为，∴. ，. 题型三 幂函数定义域问题 【例3】函数的定义域是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为， 则有，解得且， 因此的定义域是．故选：B. 【变式3-1】函数的定义域为______. 【答案】 【解析】由可知其定义域为. 【变式3-2】已知幂函数的图象过点，则的定义域为______． 【答案】 【解析】∵的图象过点， ∴，， 应该满足：，即， ∴的定义域为． 【变式3-3】若要使有意义，则取值范围是_______. 【答案】 【解析】∵， 要使有意义，则，即， ∴. 故答案为：. 题型四 幂函数的值域问题 【例4】下列函数中最小值为2的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对A：，故其最小值为，不满足题意； 对B：，当时，，故其最小值不为，不满足题意； 对C：，故，故其最小值为，不满足题意； 对D：，其为上的单调增函数，故，满足题意.故选：D. 【变式4-1】若幂函数的图象过点，则的值域为____________． 【答案】 【解析】设，因为幂函数的图象过点，所以 所以，所以 【变式4-2】已知幂函数的图象过点，则函数在区间上的最小值是（