4.3 指数函数与对数函数的关系-【题型分类归纳】2022-2023学年高一数学同步讲与练(人教B版2019必修第二册)

4.3 指数函数与对数函数的关系 一、反函数的概念 如果在函数中，给定值域中任意一个的值，只有唯一的与之对应，那么是的函数，这个函数称为的反函数，此时称存在反函数，而且函数的自变量仍用表示，因变量仍用表示，函数的反函数记作. 二、反函数的有关性质 一般地，函数的反函数记作，则 1、的定义域与的值域相同，的值域与的定义域相同； 2、与的图像关于直线对称； 3、单调函数的反函数一定存在，且互为反函数的两个函数的单调性相同. 【注意】由性质2可知，若函数的图像上有一点，则点一定在其反函数的图像上；反之，若点在的反函数图像上，则点必在函数的图像上. 三、指数函数与对数函数的关系 当且时，有，列表如下. 名称 指数函数 对数函数 一般形式 定义域 R 值域 R 定点 单调性 时，为增函数；时，为减函数 时，为增函数；时，为减函数 函数值的变化情况 （1）当时，若，则； 若，则. （2）当时，若，则； 若，则. （1）当时，若，则； 若，则. （2）当时，若，则； 若，则. 对数函数与指数函数互为反函数 四、判断函数是否存在反函数的方法 并非任意一个函数都有反函数，只有定义域和值域都满足“一一对应”的函数才有反函数. 1、逐一考查值域中函数值对应的自变量的取值，如果都是唯依的，则函数的反函数存在； 2、确定函数在定义域上的单调性，如果函数是单调函数，则函数的反函数存在； 3、利用原函数的解析式，解出自变量，如果是唯一的，则函数的反函数存在。 五、求反函数的步骤 当函数存在反函数时，求反函数的步骤如下： 1、由，解出； 2、交换、，得； 3、根据的值域，写出的定义域。 题型一 反函数存在的条件 【例1】“函数在区间I上严格单调”是“函数在I上有反函数”的（ ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】A 【解析】“函数在区间上严格单调”“函数在上有反函数”， 下面给出证明：若“函数在区间上严格单调”， 设函数在区间上的值域为，任取， 如果在中存在两个或多于两个的值与之对应， 设其中的某两个为，且，即，但． 因为，所以 (或)． 由函数在区间上单调知：，(或)， 这与矛盾．因此在中有唯一的值与之对应． 由反函数的定义知：函数在区间上存在反函数． 反之“函数在上有反函数”则不一定有“函数在区间上单调”， 例如：函数，就存在反函数： 易知函数在区间上并不单调． 综上，“函数在区间上严格单调”是“函数在上 有反函数”的充分不必要条件.故选：A． 【变式1-1】“”是“函数，有反函数”的（ ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．即非充分又非必要条件 【答案】A 【解析】函数，有反函数， 则函数，上具有单调性，． 是的真子集， “”是“函数，有反函数”的充分不必要条件．故选A. 【变式1-2】若函数存在反函数，则常数a的取值范围为（ ） A．（﹣∞，1] B．[1，2] C．[2，+∞） D．（﹣∞，1]∪[2，+∞） 【答案】D 【解析】∵函数存在反函数 ∴函数在[0，1]上单调 若单调递增，即，则在x∈[0，1]上恒成立， 即在上恒成立 ∵在[0，1]上单调递增，∴，∴a≤1 若单调递减，即，则在上恒成立 即在上恒成立 ∴在上单调递增，∴，∴． 综上，常数a的取值范围为．故选：D． 【变式1-3】下列函数图像中，存在反函数的函数的图像只能是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据反函数的定义，得：存在反函数的函数在其定义域上是单调函数， 由图象得只有选项A中图象对应函数是单调函数， 即存在反函数的函数的图象只能是选项A.故选：A. 【变式1-4】若函数在区间[2，4]上不存在反函数，则实数a的取值范围是______． 【答案】 【解析】函数的对称轴为， 因为函数在区间[2，4]上不存在反函数， 所以函数在区间[2，4]上不是单调函数，因此，解得． 故答案为： 题型二 反函数解析式的求法 【例2】函数的反函数是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】函数，，则有， 由得：，解得， 所以函数的反函数是.故选：A 【变式2-1】函数的反函数为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为函数，所以， 可得，互换得， 所以函数的反函数为，故选：C. 【变式2-2】函数的反函数是（ ） A． B． C． D． 【答案】D