第04讲 倍长中线模型构造全等三角形-【多题一解&一题多解】冲刺2023年中考数学满分应对方法与策略（全国通用）

第04讲 倍长中线模型构造全等三角形 【应对方法与策略】 倍长中线是指加倍延长中线，使所延长部分与中线相等，往往需要连接相应的顶点，则对应角对应边都对应相等。常用于构造全等三角形。中线倍长法多用于构造全等三角形和证明边之间的关系（通常用“SAS”证明）（注：一般都是原题已经有中线时用）。 三角形一边的中线（与中点有关的线段），或中点，通常考虑倍长中线或类中线，构造全等三角形.把该中线延长一倍，证明三角形全等，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法. 主要思路：倍长中线（线段）造全等 在△ABC中 AD是BC边中线 延长AD到E， 使DE=AD，连接BE 作CF⊥AD于F， 作BE⊥AD的延长线于E 连接BE 延长MD到N， 使DN=MD，连接CD 【多题一解】 一、单选题 1．（2021·浙江湖州·二模）如图，在四边形中，，，，，，点是的中点，则的长为（    ）． A．2 B． C． D．3 【答案】C 【分析】延长BE交CD延长线于P，可证△AEB≌△CEP，求出DP，根据勾股定理求出BP的长，从而求出BM的长． 【详解】解：延长BE交CD延长线于P， ∵AB∥CD， ∴∠EAB＝∠ECP， 在△AEB和△CEP中， ∴△AEB≌△CEP（ASA） ∴BE＝PE，CP＝AB＝5 又∵CD＝3， ∴PD=2， ∵ ∴ ∴BE＝BP＝． 故选：C． 【点睛】考查了全等三角形的判定和性质和勾股定理，解题的关键是得恰当作辅助线构造全等，依据勾股定理求出BP． 2．（2021·甘肃兰州·模拟预测）如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝2，点D为BC的中点，则AD的长可能是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】延长AD到E，使DE＝AD，连接BE．证△ADC≌△EDB（SAS），可得BE＝AC＝2，再利用三角形的三边关系求出AE的范围即可解决问题． 【详解】解：延长AD到E，使DE＝AD，连接BE， 在△ADC和△EDB中， ， ∴△ADC≌△EDB（SAS）， ∴BE＝AC＝2， 在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE， 即2＜2AD＜6， 解得1＜AD＜3， 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形的全等判定和性质，三角形三边关系定理，熟练证明三角形的全等是解题的关键． 3．（2021·全国·九年级专题练习）如图，在平行四边形中，，为上一点，为的中点，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行四边形的性质可以得到，且为的中点，所以,由此可判断选项；再结合平行线的性质可以得到，由此可判断选项；同时延长和交于点， 可以证得，所以,由此可以判断选项；由于，所以，由此可以判断选项； 【详解】四边形是平行四边形 由于条件不足，所以无法证明,故选项错误； 故选项错误； 同时延长和交于点 在和 中： 由于条件不足，并不能证明，故选项错误； 为的中点 故选项正确； 故选：D. 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，以及全等三角形的判定，根据题意作出相应的辅助线是求解本题的关键. 二、填空题 4．（2019·湖北·武汉市粮道街中学九年级阶段练习）如图，△ABC中，D是AB的中点，CD：AC：BC＝1：2：2，则∠BCD＝_____． 【答案】30° 【分析】利用“中线倍长法”构造全等三角形，进而得出等腰三角形，再通过作等腰三角形的高，依据锐角三角函数可求出答案． 【详解】解：延长CD到E，使DE＝CD，连接BE，过E点作EF⊥BC，垂足为F， ∵D是AB的中点， ∴AD＝BD， 又∵∠ADC＝∠BDE，DE＝DC， ∴△ADC≌△BDE（SAS）， ∴AC＝BE， ∵CD：AC：BC＝1：2：2， 设CD＝m，则AC＝2m＝BE＝CE， ∴FC＝FB＝BC＝m， 在Rt△CEF中，cos∠FCE＝＝＝， ∴∠FCE＝30°，即∠BCD＝30°， 故答案为：30°． 【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质以及锐角三角函数等知识，理解直角三角形的边角关系是正确计算的前提． 5．（2021·全国·九年级专题练习）如图，在正方形中，分别是、边上的点，将四边形沿直线翻折，使得点、分别落在点、处，且点恰好为线段的中点，交于点，作于点，交于点．若，则________． 【答案】 【分析】根据中点这个条件考虑倍长，构造出全等三角形，进而结合翻折得性质产生等腰三角形，综合等腰三角形的性质通过设未知数表示各线段，再通过相似三角形建立等式求解正方形的边长，最后利用三角函数值快速求解． 【详解】如图