精品解析：辽宁省沈阳市第二中学2022-2023学年高三上学期期中数学试题

沈阳二中2022—2023学年度上学期期中考试 高三（23届）数学试题 第Ⅰ卷 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知集合,则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数，则复数的虚部为（ ） A B. C. D. 3. 若是两条不同的直线，垂直于平面，则“”是“”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知点是直线与轴的交点,将直线绕点按逆时针方向旋转,得到的直线方程是 A B. C. D. 5. 天文学中为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯()在公元前二世纪首先提出了星等这个概念.星等的数值越小，星星就越亮；星等的数值越大，它的光就越暗.到了年，由于光度计在天体光度测量中的应用，英国天文学家普森()又提出了衡量天体明暗程度的亮度的概念.天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足.其中星等为的星的亮度为.已知“心宿二”的星等是，“天津四”的星等是，“心宿二”的亮度是“天津四”的倍，则与最接近的是（ ）(当较小时，) A. B. C. D. 6. 已知在处取得极值，则的最小值为（ ） A. B. 3+2 C. 3 D. 9 7. 已知球是三棱锥的外接球，，，点是的中点，且，则球的表面积为（ ） A B. C. D. 8. 若，函数（）的值域为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（每小题5分，共20分，全对得5分，部分选对得2分，选错得0分） 9. 若，，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，关于的性质，以下四个结论中正确的是（ ） A. 是奇函数 B. 函数在区间上是增函数 C. 有两个零点 D. 函数在处取得最小值 11. 如图，正方体的棱长为1，，，分别为线段，，上的动点（不含端点），则（ ） A. 异面直线与成角可以为 B. 当为中点时，存在点，使直线与平面平行 C. 当，为中点时，平面截正方体所得的截面面积为 D. 存在点，使点与点到平面的距离相等 12. 如图，已知点是平行四边形的边的中点，为边上的一列点，连接交于，点满足，其中数列是首项为的正项数列，是数列的前项和，则下列结论正确的是（　　） A. B. 数列是等比数列 C. D. 第Ⅱ卷 三、填空题（每空5分，共20分） 13. 设等比数列的前项和为，若，则______. 14. 在中，为的中点，若，，，则______． 15. 函数上的点到直线的最短距离是________． 16. 足球运动是一项古老的体育活动，众多的资料表明，中国古代足球的出现比欧洲早，历史更为悠久，如图，现代比赛用足球是由正五边形与正六边形构成的共32个面的多面体，著名数学家欧拉证明了凸多面体的面数(F)，顶点数(V)，棱数(E)满足F+V-E=2，那么，足球有______.个正六边形的面，若正六边形的边长为，则足球的直径为______.cm(结果保留整数)(参考数据 四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 如图，在三棱柱中，底面，，，，点，分别为与的中点 （1）证明：平面． （2）求与平面所成角的正弦值． 18. ． 已知函数的最小正周期为，且当时，函数的最小值为0． （I）求函数表达式； （II）在△ABC，若，求的值． 19. 已知数列的前项和为，且（，2，3……），数列中，，点在直线上． （1）求数列，的通项和； （2）设，求数列的前项和． 20. 某单位科技活动纪念章的结构如图所示，O是半径分别为1cm，2cm的两个同心圆的圆心，等腰△ABC的顶点A在外圆上，底边BC的两个端点都在内圆上，点O，A在直线BC的同侧．若线段 BC与劣弧所围成的弓形面积为S1，△OAB与△OAC的面积之和为 S2， 设∠BOC＝2． （1）当时，求S2﹣S1的值； （2）经研究发现当S2﹣S1的值最大时，纪念章最美观，求当纪念章最美观时，cos的值．（求导参考公式：(sin2x)'＝2cos2x，( cos2x)'＝﹣2sin2x） 21. 如图，在多面体中，平面平面，，，，，． （1）求平面与平面所成二面角的正弦值； （2）若是棱的中点，对于棱上是否存在一点，使得．若存在，请指出点的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由． 22 已知函数． （1）判断函数在区间上零点的个数，并说明理由． （2）当时， ①比较与的大小关系，并说明理由； ②证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 沈阳二中2022—2023学年度上学期期中考试 高三（23届）