第四讲 导数大题——不等式的证明 讲义-2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

第四讲 利用导数证明不等式 题型一：作差构造函数证明不等式　 [例1]　已知函数f(x)＝ax＋xln x在x＝e－2(e为自然对数的底数)处取得极小值． (1)求实数a的值； (2)当x>1时，求证：f(x)>3(x－1)． 【变式训练】 1．设a为实数，函数f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R． (1)求f(x)的单调区间与极值； (2)求证：当a>ln 2－1且x>0时，ex>x2－2ax＋1． 2．已知函数f(x)＝1－，g(x)＝＋－bx，若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)的一个公共点是A(1,1)，且在点A处的切线互相垂直． (1)求a，b的值； (2)证明：当x≥1时，f(x)＋g(x)≥. 题型二：拆分构造函数证明不等式　 [例2]　设函数f(x)＝ax2－(x＋1)ln x，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处切线的斜率为0. (1)求a的值； (2)求证：当0<x≤2时，f(x)>x. 【变式训练】 1．已知f(x)＝xln x，g(x)＝－x2＋ax－3. (1)若对一切x∈(0，＋∞)，2f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围； (2)求证：对一切x∈(0，＋∞)，ln x＞－恒成立． 2．已知函数f (x)＝x2＋2x－2xex． (1)求函数f (x)的极值． (2)当x＞0时，证明f (x)－2x＋x2＋x3＜－2eln x． 题型三：特征分析放缩法证明不等式　 [例3]　已知函数f(x)＝ax2－2ln x(a∈R)． (1)若f(2)是f(x)的极值，求a的值． (2)若f′(1)≥0，求证：当x∈(0,2)时，a－－＞0恒成立． 【变式训练】 1．已知函数f(x)＝aln(x－1)＋，其中a为正实数。 (1)求f(x)的单调区间； (2)证明：当x>2时，f(x)<ex＋(a－1)x－2a。 2．已知函数f(x)＝2ln(x＋1)＋sin x＋1，函数g(x)＝ax－1－bln x(a，b∈R，ab≠0)。 (1)讨论g(x)的单调性； (2)证明：当x≥0时，f(x)≤3x＋1； (3)证明：当x>－1时，f(x)<(x2＋2x＋