第二十六章 反比例函数（章末小结）-2022-2023学年九年级数学下册同步精品课堂（人教版）

反比例函数章末小结 1.巩固并掌握反比例函数概念、图象和主要性质，能根据已知条件确定反比例函数的解析式; (重点) 2.系数k的几何意义，以及反比例函数与一次函数的综合问题. (重点、难点) 2 3 (k为常数，k≠0)的函数，叫做反比例函数， 一般地，形如 其中x是自变量，y是函数. 等价形式： (k为常数，k≠0) 一、反比例函数的概念 二、反比例函数的图象和性质 一般地，反比例函数 图象是双曲线，它具有以下性质： (1)当k＞0时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小； (2)当k＜0时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一个象限内，y随x的增大而增大. 对于反比例函数 ，点P是其图象上的任意一点，作PA垂直于y轴，作PB垂直于x轴，矩形AOBP的面积与k的关系是S矩形AOBP=______. 推理：△PAO与△PBO的面积和k的关系是 S△PAO=S△PBO=______. |k| 反比例函数的面积不变性. 三、反比例函数解析式中k的几何意义 四、反比例函数的应用 ◑利用待定系数法确定反比例函数： ① 根据两变量之间的反比例关系，设 ； ② 代入图象上一个点的坐标，即 x、y 的一对对应值，求出k的值； ③ 写出解析式. 四、反比例函数的应用 ◑反比例函数与一次函数的图象的交点的求法 求直线 y＝k1x＋b (k1≠0) 和双曲线 (k2≠0)的交点坐标就是解这两个函数解析式组成的方程组. 四、反比例函数的应用 ◑利用反比例函数相关知识解决实际问题 过程：分析实际情境→建立函数模型→明确数学问题 注意：实际问题中的两个变量往往都只能取非负值. 反比例函数的概念 1 例1.下列函数中哪些是正比例函数？哪些是反比例函数? ① y = 3x－1 ② y = 2x2 ⑤ y = 3x ③ ④ ⑥ ⑦ ⑧ 【点睛】此类题考察反比例函数的概念.抓住反比例函数的三种表达式：y=或xy＝k或y＝kx－1 (k≠0)来判断． 11 例2.当m取何值时，是关于x的反比例函数？ 解：∵是关于x的反比例函数， ∴ ， 解得 ， ∴， 【点睛】已知某个函数为反比例函数，只需要根据反比例函数的定义列出方程(组)求解即可，如本题中x的次数为－1，且系数不等于0. 【1-1】用函数解析式表示下列问题中变量间的对应关系： (1)一个游泳池的容积为2000m3，游泳池注满水所用时间t(单位：h)随注水速度v(单位：m3/h)的变化而变化； (2)某长方体的体积为1000cm3，长方体的高h(单位：cm)随底面积S(单位：cm2)的变化而变化； (3)一个物体重100N，物体对地面的压强p(单位：pa)随物体与地面的接触面积S(单位：m2)的变化而变化. 【1-2】k为何值时，y＝(k2＋k)是反比例函数． 解　∵函数y＝(k2＋k)是反比例函数， ∴ 解得k＝2. 故k为2时，y＝(k2＋k)是反比例函数． 【1-3】已知：，与成正比例，与成反比例．当时，；当时，．求与的函数解析式． 解：（1）设y1＝k1（x+1）（k1≠0），y2＝（k2≠0）， ∴y＝k1（x+1）+ ． ∵当x＝1时，y＝7．当x＝3时，y＝4， ∴， ∴， ∴y关于x的函数解析式是：y＝（x+1）+； 反比例函数的图象和性质 2 例3.已知函数是反比例函数，且当x＜0时，y随x的增大而减小，则m的值是_____． 解：∵函数是反比例函数，且当x＜0时，y随x的增大而减小， ∴且， 解得：． 例4.在反比例函数（为常数）的图象上有三个点,, ，则函数值，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 解：∵， ∴反比例函数的图像位于第二、四象限， ∵，位于第二象限，且， ∴， ∵位于第四象限， ∴， ∴， 故选：D． D 【2-1】下列关于反比例函数y＝的描述，其中正确的是（   ） A．当x＞0时，y＜0 B．y随x的增大而减小 C．图像在第二、四象限 D．图像关于直线y＝－x对称 D 【2-2】点A，B，C都在反比例函数的图象上，且，则的大小关系是（     ） A． B． C． D． A 【2-3】已知 点 (a－1，y1)，(a＋1，y2)在反比例函数 (k＞0)的图象上，若y1＜y2，求a的取值范围. 解：由题意知，在图象的每一支上，y随x的增大而减小. ①