专题4.1 相似三角形中的动点问题（压轴题专项讲练）-2022-2023学年九年级数学上册从重点到压轴（北师大版）

专题4.1 相似三角形中的动点问题 【典例1】如图1，在中，，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒，连接PQ． （1）若与相似，求t的值； （2）直接写出是等腰三角形时t的值； （3）如图2，连接AQ、CP，若，求t的值． 【思路点拨】 （1）根据勾股定理可得，分两种情况：①，②，根据相似三角形的性质将代入计算即可得； （2）分三种情况：①当时，过P作，则，，根据平行线分线段成比例定理得到，进而即可求解；②当时，列出式子即可求解；③当时，过Q作于G，则，通过，得到比例式进而即可求解； （3）设AQ，CP交于点N，过P作于点M，先根据相似三角形的判定与性质可得，，从而可得，再证出，根据相似三角形的性质即可得． 【解题过程】 解：（1）∵， ∴， 由题意得：， 分以下两种情况讨论： ①当时，， 即， 解得； ②当时，， 即， 解得， 综上，t的值为1或； （2）解：分三种情况： ①当时，如图，过P作， 则，， ∵，， ∴， ∴，即， 解得：； ②当时，即， 解得：； ③当时，如图，过Q作于G， 则，， ∵， ∴， ∴即， 解得：； 综上所述：是等腰三角形时t的值为：或或； （3）解：如图，设AQ，CP交于点N，过P作于点M， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得，， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴，即， 解得， 经检验是该分式方程的解． 1．（2022·辽宁沈阳·九年级阶段练习）如图，在中，，，点从点出发以1个单位长度/秒的速度向点运动，同时点从点出发以2个单位长度/秒的速度向点运动，其中一点到达另一点即停．当以，，为顶点的三角形与相似时，运动时间为（    ） A．秒 B．秒 C．秒或秒 D．以上均不对 【思路点拨】 首先设秒钟与以、、为顶点的三角形相似，则，，，然后分两种情况当和当讨论． 【解题过程】 解：设运动时间为秒． ，，， 当，， 即， 解得； 当，， 即， 解得， 综上所述，当以，，为顶点的三角形与相似时，运动时间为或， 故选：C． 2．（2022·全国·九年级课时练习）如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝10，点P是AD上的一个动点，若以A，P，B为顶点的三角形与△PDC相似，则满足条件的点P的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【思路点拨】 设AP＝x，则PD＝AD﹣AP＝10﹣x，然后分类讨论：若∠APB＝∠DPC，则Rt△APB∽Rt△DPC，得到比例式，代入求出即可；若∠APB＝∠PCD，则Rt△APB∽Rt△DCP，得到比例式，代入求出即可． 【解题过程】 解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝DC＝3，AD＝BC＝10，∠A＝∠D＝90°， 设AP＝x，则PD＝AD﹣AP＝10﹣x， 若∠APB＝∠DPC，则Rt△APB∽Rt△DPC， ∴＝，即， 解得：x＝5； 若∠APB＝∠PCD，则Rt△APB∽Rt△DCP， ∴＝，即， 解得：x＝1或9； 所以当AP＝1或5或9时，以P，A，B为顶点的三角形与以P，D，C为顶点的三角形相似，即这样的P点有三个． 故选：C． 3．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在四边形ABCD中，，∠ABC=90°，AD=2㎝，BC=6㎝，AB=7㎝，点P是从点B出发在射线BA上的一个动点，运动的速度是1㎝/s，连接PC、PD．若△PAD与△PBC是相似三角形，则满足条件的点P个数是（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【思路点拨】 设点P运动t秒时，△PAD与△PBC是相似三角形，分点P在线段BA上时和点P在线段BA的延长线上时两种情况进行讨论，每种情况下，分别求出当或时t的值，即可得出答案． 【解题过程】 解：∵，∠ABC=90°， ∴∠BAD=∠ABC=90°， 设点P运动t秒时，△PAD与△PBC是相似三角形， 当点P在线段BA上时， ∵AD=2㎝，BC=6㎝，AB=7㎝， ∴PB=t，PA=7-t， 当时，有， ∴，解得t=， 当时，有， ∴，解得t=3，t=4； 当点P在线段BA的延长线上时，PB=t，PA=t-7， 同理：当△PAD∽△PBC时，解得t=； 当△PAD∽△CBP时，解得t=， ∵t＞0， ∴t=， 综上所述，t=或t=3或t=4或t=或t=， 即满足条件的点P共有5个，故A正确． 故选：A． 4．（2022·全国·九年级专题练习）如图，正方形边长为8，为中点，线段在边上从左向右以1个单位/秒的速度运动，，从点与点重合时开始计时，到点与点重合时停止，设运动时间为秒，连结，在运动过程中，下列4个结论：①当时，；②只有当时，以点构成的三角形与相似；③四边形的周长最小等于；④四边形的面积最大等于38