第1章 微专题2 角中的探究性问题-（课件）2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册【南方凤凰台·5A新学案】人教A版

第一章 空间向量与立体几何 微专题2　角中的探究性问题 第1页 第一章 空间向量与立体几何 5A新学案 数学 · 选择性必修第一册 典例剖析·素养提升 课堂评价·及时反馈 Thank you for watching 第1页 第一章 空间向量与立体几何 5A新学案 数学 · 选择性必修第一册 探究1　与线面角有关的探索性问题 　已知等边三角形ABC的边长为3，D，E分别是AB，AC上的点，且满足eq \f(AD,DB)＝eq \f(CE,EA)＝eq \f(1,2)，如图(1)所示．将△ADE沿DE边折起到△A1DE的位置，使得二面角A1－DE－B成直二面角，连接A1B，A1C，如图(2)所示． (1) 求证：A1D⊥平面BCED. 图(1)　　 图(2) 【解答】 在题图(1)中，由已知可得AE＝2，AD＝1，∠A＝60°，从而DE＝eq \r(12＋22－2×1×2×cos60°)＝eq \r(3)，故得AD2＋DE2＝AE2，所以AD⊥DE，BD⊥DE，所以在题图(2)中，A1D⊥DE，BD⊥DE，所以∠A1DB为二面角A1－DE－B的平面角．又二面角A1－DE－B为直二面角，所以∠A1DB＝90°，即A1D⊥DB.因为DE∩DB＝D且DE，DB⊂平面BCED，所以A1D⊥平面BCED. (2) 在线段BC上是否存在点P，使得直线PA1与平面A1BD所成的角为60°？若存在，求出PB的长；若不存在，请说明理由． 【解答】 假设在线段BC上存在点P满足题意．由(1)知ED⊥DB，A1D⊥平面BCED，以D为原点，DB，DE，DA1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系Dxyz，如图，过P作PH∥DE交BD于点H.设PB＝2a(0≤2a≤3)，则BH＝a，PH＝eq \r(3)a，DH＝2－a，易知A1(0,0,1)，P(2－a，eq \r(3)a,0)，E(0，eq \r(3)，0)，所以eq \o(PA1,\s\up16(→))＝(a－2，－eq \r(3)a,1)．因为ED⊥平面A1BD，所以平面A1BD的一个法向量为eq \o(DE,\s\up16(→))＝(0，eq \r(3)，0)．因为直线PA1与平面A1BD所成的角为60°，所以sin60°＝eq \f(|\o(PA1,\s\up16(→))·\o(DE,\s\up16(→))|,|\o(PA1,\s\up16(→))||\o(DE,\s\up16(→))|)＝eq \f(3a,\r(4a2－4a＋5)×\r(3))＝eq \f(\r(3),2)，解得a＝eq \f(5,4)，所以PB＝2a＝eq \f(5,2)，满足0≤2a≤3，符合题意． 综上，在线段BC上存在点P，使得直线PA1与平面A1BD 所成的角为60°，此时PB＝eq \f(5,2). 解决此类问题的基本策略是执果索因，其结论明确需要求出使结论成立的充分 条件，将题设和结论都视为已知条件即可迅速找到切入点，建立方程(组)并解方程(组)．若方程(组)有解，则存在并求得结论成立的条件；若方程(组)无解，则不存在． 探究2　与二面角有关的探索性问题 　如图(1)，四棱锥P－ABCD的底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E，F分别是棱PD，PC的中点． (1) 求证：PB∥平面AEC； (1) 【解答】 如图(2)，连接BD，设AC∩BD＝O，连接OE.因为四边形ABCD为矩形，所以O是BD的中点．又E是棱PD的中点，所以PB∥EO.因为PB⊄平面AEC，EO⊂平面AEC，所以PB∥平面AEC. (2) (2) 若矩形ABCD为正方形，试探究在什么条件下，二面角C－AF－D的大小为60°. 【解答】 由题意知AD，AB，AP两两互相垂直，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，设AB＝AD＝2a，AP＝2c，则A(0，0,0)，B(2a,0,0)，C(2a,2a,0)，D(0,2a,0)，P(0,0,2c)，E(0，a，c)，F(a，a，c)．设平面CAF的法向量为m＝(x1，y1，z1)，而eq \o(AC,\s\up16(→))＝(2a,2a,0)，eq \o(CF,\s\up16(→))＝(－a，－a，c)，所以eq \o(AC,\s\up16(→))·m＝2ax1＋2ay1＝0，eq \o(CF,\s\up16(→))·m＝－ax1－ay1＋cz1＝0，取x1＝－1，得m＝(－1,1,0)．设平面DAF的法向量为n＝(x2，y2，z2)，而eq \o(AF,\s\up16(→))＝(a，a，c)，eq \o(AD,\s\up16(→))＝(0,2a,0)，所以eq \o(AF,\s\up16(→))·n＝ax2＋ay2＋cz2＝0，eq \o(AD,\s\u