天津市南开区2022-2023学年高三上学期期中数学试题

2022-2023学年度第一学期阶段性质量监测（一） 高三年级数学学科 2022.1 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共150分，考试时间1分钟。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至8页。 祝各位考生考试顺利！ 第Ⅰ卷 注意事项： 1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂在答题卡上； 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号； 3．本卷共9小题，每小题5分，共45分。 参考公式： ·锥体的体积公式，其中S表示锥体的底面积，h表示锥体的高． ·柱体的体积公式，其中S表示柱体的底面积，h表示柱体的高． 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，集合，则等于（ ） A． B． C． D． 2．命题“，”的否定是（ ） A．，或 B．， C．，或 D．， 3．函数的图象可能是（ ） A． B． C． D． 4．“直线l垂直于平面α内无数条直线”是“直线l垂直于平面α”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 5．计算：（ ） A．-1 B． C．1 D．-3 6．已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A． B． C． D． 7．已知平面向量，，下列说法中： ①； ②； ③向量与的夹角为30°； ④向量在上的投影向量为， 正确说法的序号是（ ） A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 8．已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A． B． C． D． 9．设函数，若存在唯一的，使得的最小值为，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 注意事项： 1．用黑色墨水的钢笔或签字笔答题； 2．本卷共11小题，共105分。 二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分。 10．已知（i为虚数单位，）为纯虚数，则______． 11．已知，且，则的值为______． 12．如图所示的几何体是由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥，下部的形状是正四棱柱，且正四棱柱的高是正四棱锥的高的4倍，若，，则该几何体的体积是______． 13．不等式的解集为______；若“p：”是“q：”成立的必要不充分条件，则实数m的取值范围是____________． 14．已知正实数a，b，c满足，则的最大值为______． 15．在边长为2的菱形ABCD中，，E是BC的中点，F是边CD上的一点，DE交AF于H．若F是CD的中点，，则______；若F在边CD上（不含端点）运动，则的取值范围是______． 三、解答题：本大题共5题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16．（本小题满分14分）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知，，． （Ⅰ）求角A； （Ⅱ）求边c； （Ⅲ）求的值． 17．（本小题满分15分） 已知函数，（a为常数，），且函数在的切线和在处的切线互相平行． （Ⅰ）求常数a的值； （Ⅱ）若存在x使不等式（为函数的导数）成立．求实数m的取值范围． 18．（本小题满分15分） 如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD为菱形，，平面ABCD，平面ABCD，． （Ⅰ）求证：平面ADE； （Ⅱ）求直线AE与平面EFC所成角的正弦值； （Ⅲ）求平面AEF和平面EFC的夹角的余弦值． 19．（本小题满分15分） 某地空气中出现污染，须喷洒一定量的去污剂进行处理．据测算，每喷洒1个单位的去污剂，空气中释放的浓度y（单位：毫克/立方米）随着时间x（单位：天）变化的函数关系式近似为若多次喷洒，则某一时刻空气中的去污剂浓度为每次投放的去污剂在相应时刻所释放的浓度之和．由实验知，当空气中去污剂的浓度不低于4（毫克/立方米）时，它才能起到去污作用． （Ⅰ）若一次喷洒4个单位的去污剂，则去污时间可达几天？ （Ⅱ）若第一次喷洒2个单位的去污剂，6天后再喷洒个单位的去污剂，要使接下来的4天中能够持续有效去污，试求a的最小值（精确到0.1，参考数据：取1.4）． 20．（本小题满分16分） 已知是函数的一个极值点，其中a，． （Ⅰ）求a与b的关系式； （Ⅱ）设函数． （ⅰ）讨论函数的单调性； （ⅱ）若，为函数的两个不等于1的极值点，设，，记直线PQ的斜率为k，求证：． 2022-2023学年度第一学期阶段性质量监测（一）参考答案高三年级数学学科 一、选择题：（本题共9小题，每题5分，共45分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 D C A B C B D A A 二、填空题：（本题共6小题，每题5分，共30分） 10．-3； 11．； 1