第一章 §3　弧度制（教师用书）-2022-2023学年新教材高中数学必修第二册【正禾一本通】同步课堂高效讲义（北师大版2019）

答案： {α|k·360°－45°≤α≤k·360°＋120°，k∈Z} 9．已知α＝－315°. (1) 把α改写成 k·360°＋β(k∈Z，0°≤β<360°)的形式，并指出它是第几象限角； (2)求θ，使θ与α终边相同，且－1 080°<θ<－360°. 解析： (1)因为－315°＝－360°＋45°. 又 0°<45°<360°， 所以把α写成 k·360°＋β(k∈Z，0°≤β<360°)的形式为α＝－360°＋45°(β＝45°)， 它是第一象限角． (2)与－315°终边相同的角为θ＝k·360°＋45°(k∈Z)， 所以当 k＝－3，－2 时，θ＝－1 035°，－675°， 满足－1 080°<θ<－360°. 即得所求角θ为－1 035°和－675°. 10．如图所示，半径为 1 的圆的圆心位于坐标原点，点 P 从点 A(1，0)出发，以逆时针方向等速沿单位圆周旋转，已知 P 点在 1 s 内转过的角度为θ(0°<θ<180°)，经过 2 s 达到第三象限，经过 14 s 后又回到了出发点 A 处，求θ. 解析： ∵0°<θ<180°，且 k·360°＋180°<2θ<k·360°＋270°，k∈Z， 则一定有 k＝0，于是 90°<θ<135°. 又∵14θ＝n·360°(n∈Z)， ∴θ＝n·180° ，从而 90° n·180° <135°， 7 7 21 ∴ <n< 2 4 < 7 ，∴n＝4 或 5. 当 n＝4 时，θ＝720° 7 ；当 n＝5 时，θ＝900° . 7 所以θ＝720° 7 或900° . 7 学生用书 第 7 页 §3 弧度制 [学习目标] 1.了解角的另外一种度量方法——弧度制.2.能够熟练地在角度制和弧度制 之间进行换算．知识点一 弧度制 1. 角度制与弧度制的定义 角度制 用度作为单位来度量角的单位制叫作角度制，规定 1 度的角等于周角的 1 360 弧度制 在单位圆中，把长度等于 1 的弧所对的圆心角称为 1 弧度的角，其单位用符号 rad 表示，读作弧度．以弧度作为单位来度量角的方法，称为弧度制 2. 角的弧度数的计算 如果半径为 r 的圆的圆心角α所对弧的长为 l，那么|α|＝l . r (1)我国在文昌航天发射场用长征五号运载火箭成功发射探月工程嫦娥五号探测 器，顺利将探测器送入预定轨道，经过两次轨道修正，嫦娥五号顺利进入环月轨道飞行，嫦 娥五号从椭圆形环月轨道变为近圆形环月轨道，若这时把近圆形环月轨道看作圆形轨道，嫦 娥五号距离月球表面 400 千米，已知月球半径约为 1 738 π 千米，则嫦娥五号绕月球每旋转 3 弧度，飞过的路程约为(π≈3.14)( ) A．1 069 千米 B．1 119 千米 C．2 138 千米 D．2 238 千米 (2) 要在半径 OA＝60 cm 的圆形金属板上截取一块扇形板，使弧 AB 的长为 50π cm，那 么圆心角∠AOB＝ .(用弧度表示) 解析： (1)嫦娥五号绕月飞行半径为 400＋1 738＝2 138，所以嫦娥五号绕月每旋转π 弧 3 度，飞过的路程约为 l＝αr＝π 3 ×2 138≈3.14 3 ×2 138≈2 238(千米).故选 D. (2) 由题意可知：∠AOB 50π ＝ ＝5π (弧度). 60 6 答案： (1)D (2)5π 6 方法技巧 弧度制下弧度数|α|＝l r (l 表示弧长)，在使用公式时，分析题目已知哪些量、要求哪些量， 然后灵活地运用公式直接求解． 即时练 1.如果一个扇形的半径变为原来的一半，弧长变为原来的3 2 倍，则该弧所对的圆 心角是原来的 倍． 解析： 设扇形的半径为 r，弧长为 l，则其弧度数为l r .将半径变为原来的一半，弧长变 为原来的3 2 3l 倍，则弧度数变为2 1r 2 ＝3·l r ，即弧度数变为原来的 3 倍． 答案： 3 知识点二 弧度与角度的换算 1. 常见角度与弧度互化公式 角度化弧度 弧度化角度 360°＝2π rad 2π rad＝360° 180°＝π rad π rad＝180° 1°＝ π rad≈0.017 45 rad 180 1 rad 180° ≈57°18′ ＝ π 2. 一些特殊角的角度数与弧度数的对应关系 角度 0° 1° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360° 弧度 0 π 180 π 6 π 4 π 3 π 2 2π 3 3π 4 5π 6 π 3π 2 2π [点拨] 角度制与弧度制是两种不同的度量角的方式，二者不能混用，如α＝k·360°＋ π (k∈Z