专题1.3 弧度制（高效培优讲义，4知识&7题型+强化训练）高一数学北师大版必修第二册

本讲义聚焦弧度制核心知识点，衔接角度制基础，系统构建角的集合与实数集的对应关系，通过概念辨析、互化公式推导及扇形公式对比（角度制与弧度制）搭建学习支架，为后续三角函数学习奠定基础。 资料以核心素养为导向，通过“即学即练”融入钟表拨快、莱洛三角形等生活情境，培养数学眼光。题型分层设计，从基础互化到扇形最值、古算应用题，发展数学思维，课中便于分层教学，课后助力学生查漏补缺。

专题1.3 弧度制 教学目标 1.了解弧度制的定义，明确角的集合与实数集的对应关系； 2.掌握角度与弧度的互化方法，熟记特殊角的弧度数； 3.会用弧度制计算扇形的弧长与面积。 教学重难点 1.重点 （1）弧度制的定义：理解 “1 弧度的角” 的概念； （2）角度与弧度的互化：熟练掌握互化公式； （3）弧度制下扇形的弧长与面积公式：能运用公式、计算。 2.难点 （1）角度与弧度的灵活互化：尤其是含分、秒的角度化弧度，或非特殊弧度化角度； （2）弧度制公式的应用：区分角度制与弧度制下扇形公式的差异，避免混淆。 知识点01 角度与弧度的概念 1. 用度作为单位来度量角的单位制叫作角度制，规定周角的 等于1度，记作1° 2. 弧度制的定义：在单位圆中，把长度等于 1 的弧所对的圆心角称为 1 弧度的角 ，用符号rad表示，读作 弧度 。以弧度作为单位来度量角的单位制叫作弧度制。 3. 任意角的弧度数与实数的对应关系：正角的弧度数是一个 正数 ；负角的弧度数是一个 负数 ；零角的弧度数是 0 。 注意要点： （1）用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但数量相同（都是 0）；用角度制和弧度制度量任意非零角，单位不同，数量也不同； （2）角度的单位“°”不可省略，而弧度的单位“rad”可以省略； （3）在同一个式子中，角度、弧度不能混合使用。 【即学即练】 1．(24-25高一上·重庆万州第三中学等多校·月考)将钟表的分针拨快20分钟，则时针转过的角的弧度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据任意角的概念即可求解. 【详解】将钟表的分针拨快20分钟，时针顺时针旋转， 所以时针转过的角度为. 故选：B. 2．若圆弧长度等于圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】先求出圆内接正三角形的边长，再利用弧度的定义求解. 【详解】如图，等边三角形是半径为的圆的内接三角形， 则线段所对的圆心角， 作,垂足为， 直角中，, 所以， 所以， 所以长度等于圆内接正三角形的边长的圆弧所对圆心角的弧度数为， 故选：D. 知识点02 角度与弧度的换算 1. 角度化弧度：（1）；（2）；（3）。 2. 弧度化角度：（1）；（2）；（3）。 3. 常用特殊角的对照关系： 0° 15° 30° 45° 60° 75° 90° 120° 135° 150° 4. 常用解题策略： （1） 度数 弧度数 ， 弧度数 度数 ； （2）将角度化为弧度时，若角度制中含有“分”“秒”单位，应先把它们统一化为“度”的形式，再利用“”的关系转化为弧度即可。 【即学即练】 3．(25-26高一上·四川达州中学·)化为弧度是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由弧度制和角度制的运算公式可得. 【详解】根据换算公式，计算弧度， 故选：B 4．(25-26高一上·四川大数据智学领航联盟·)化为角度是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据弧度化角度乘以计算可得． 【详解】． 故选：B． 知识点03 扇形弧长与面积公式 设扇形半径为，弧长为，角度制圆心角为°，弧度制圆心角为，则： 为角度制 为弧度制 扇形弧长 扇形面积 【即学即练】 5．(25-26高一上·河南漯河高级中学·月考)若圆心角为的扇形的面积为，则扇形的弧长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据扇形面积公式得到扇形的半径，进而得到扇形的弧长. 【详解】设扇形的半径为，则，解得， 故扇形弧长为. 故选：C 6．已知圆心角为的扇形其弧长为，则该扇形面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出扇形的半径，从而利用扇形面积公式进行求解. 【详解】设扇形的半径为，则，解得， 又扇形弧长，故扇形面积为． 故选：A 知识点04 用弧度制表示任意角 1. 用弧度制表示各象限角的集合如下： （1）第一象限角：； （2）第二象限角：； （3）第三象限角：； （4）第四象限角： （注：对应角度制的，体现终边的周期性重复） 2. 用弧度制表示终边相同的角：设已知角为（单位：弧度），则与角终边相同的角的集合（弧度制表示）为： 【即学即练】 7．(16-17高一下·上海青浦高级中学·)下列各组角中，终边相同的角是（    ） A．与 B． C．与 D．与 【答案】D 【分析】根据表示终边的角逐项判断即可． 【详解】对于A，当时，表示终边在轴上的角，表示终边在坐标轴上的角，故A错误； 对于B，当时，因为表示终边在所在直线上的角；表示终边在所在直线上的角以及轴上的角，故B错误； 对于C，当时，表示终边在这条直线上的角，表示终边在所在直线上的角，故C错误； 对于D，当时，表示终边在轴负半轴上的角，表示终边在轴负半轴上的角，故D正确. 故选：D. 8．(22-23高一下·山东新高考联合质量测评·)若，，则终边所在象限为（    ） A．第一象限 B．第一、三象限 C．第二象限 D．第二、四象限 【答案】B 【分析】直接作出其终边所经过的象限图形即可. 【详解】经过第三象限，则反向延长其终边射线经过第一象限， 故经过一三象限， 故选：B. 题型01 用弧度制表示任意角 【典例1】(23-24高一下·广东佛山第二中学·月考)与角终边相同的角是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】代入终边相同的角的集合，即可求解. 【详解】与角终边相同的角的集合是，当时，. 故选：B 【变式1】(22-23高一上·陕西咸阳西北农林科技大学附属中学·月考)下列命题： 第四象限的角可表示为 第二象限角大于第一象限角 将表的分针拨快分钟，则分针转过的角为 若是第二象限角，则的终边在第一象限． 其中真命题的个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】根据象限角的表示方法判断①，举反例判断②，根据角的定义判断③，举反例判断④，由此确定正确选项. 【详解】对于A,，第四象限的角可表示为，所以①错， 对于B，大小为的角在第二象限，大小为的角在第一象限，但，所以②错， 对于C，将表的分针拨快分钟，则分针转过的角为所以③错， 对于D，大小为的角在第二象限，但的终边在第三象限；所以④错， 所以真命题的个数为0， 故选：A. 【变式2】(21-22高一·5.1.2弧度制-·)用弧度制表示与角的终边相同的角的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将化为弧度，利用终边相同的角的定义可得结果. 【详解】因为，故与角的终边相同的角的集合为. 故选：D. 【变式3】(20-21高一下·内蒙古鄂尔多斯第一中学·月考)我国采用的“密位制”是6000密位制，即将一个圆周分为6000等份，每一等份是一个密位，那么60密位等于（    ）弧度． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出一个密位所对的弧长，再求出60密位所对的弧长为，从而可求出60密位的弧度数 【详解】解：因为将一个圆周分成6000等份，每一份是一个密位， 所以一个密位所对的弧长， 所以60密位所对的弧长为， 所以60密位的弧度数为， 故选：B 【变式4】如图所示，终边落在阴影部分内的角α的取值集合为 . 【答案】 【分析】方法一：根据终边在上的角的集合、终边在轴非正半轴上的角的集合可得答案；方法二：根据在内，终边落在阴影部分内的角α的集合可得答案. 【详解】方法一　由于终边在上的角的集合为 由于终边在轴非正半轴上的角的集合为， 因此由题图可知，终边落在阴影部分内的角的集合为； 方法二　在内，终边落在阴影部分内的角α的集合为， 所以所求角α的集合为. 故答案为：. 题型02 角度化弧度 【典例1】化为弧度是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是角度制与弧度制的互相转化. 【详解】,故选：B. 【点睛】 【变式1】(24-25高一下·安徽·调研)将75°化为弧度是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据角度制与弧度制的互化公式，准确计算，即可求解. 【详解】根据角度制与弧度制的互化公式，可得. 故选：A. 【变式2】(24-25高一上·北京大学附属中学元培学院·期中)角对应的弧度制大小和终边所在象限分别是（    ） A．，第一象限 B．，第一象限 C．，第二象限 D．，第二象限 【答案】D 【分析】利用角度与弧度的互化以及象限角的定义判断即可. 【详解】因为，且， 因为为第二象限角，故为第二象限角， 故选：D. 【变式3】(22-23高一上·内蒙古海拉尔第一中学·期末)将化为弧度制，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用角度与弧度的换算关系可得结果. 【详解】. 故选：C. 【变式4】(22-23高一下·辽宁铁岭昌图县第一高级中学·月考)化成的形式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据角度制和弧度制的关系求解. 【详解】因为，所以 ， 故选:B. 题型03 弧度化角度 【典例1】(25-26高一上·云南昆明外国语学校禄劝分校（禄劝民族中学）·月考)弧度化成角度为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用弧度制与角度制的互化关系进行互化. 【详解】根据角度制与弧度制的互化关系，得. 故选：A 【变式1】(24-25高一下·黑龙江齐齐哈尔第六中学校·月考)弧度对应角化成角度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据角度制与弧度制的互化公式直接求解即可. 【详解】解:根据角度制与弧度制的互化关系得 故选：B 【变式2】(24-25高一上·山东菏泽巨野县第二中学·月考)（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据弧度和角度的对应关系可得答案. 【详解】由题意得，． 故选：C． 【变式3】(24-25高一上·江苏淮安涟水县第一中学·月考)弧度等于（　　 ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用弧度制与角度制的互化关系即可各答案. 【详解】依题意，弧度等于. 故选：B 【变式4】(24-25高一上·天津河西区·期末)将化成角度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用弧度制和角度值的转化关系即可. 【详解】， 故选：B 题型04 求扇形的弧长或周长 【典例1】(25-26高一上·宁夏六盘山高级中学·月考)若扇形的圆心角为，半径为6cm，则这个扇形的弧长是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据弧长公式，即可求解. 【详解】根据弧长公式可知，弧长. 故选：B 【变式1】(25-26高一上·甘肃张掖肃南裕固族自治县第一中学等七校·调研)在单位圆中，的圆心角所对的弧长为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据弧长公式进行求解即可. 【详解】在单位圆中，的圆心角所对的弧长为， 故选：C 【变式2】(24-25高一下·安徽马鞍山第二中学·开学考)已知扇形AOB的圆心角为，面积为，则扇形AOB的弧长是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用扇形的面积公式可求扇形的半径，进而利用扇形的弧长公式即可求解． 【详解】因为扇形AOB的圆心角为，面积S为， 设扇形的弧长为 l，半径为 r， 则，解得， 所以扇形AOB的弧长. 故选：C. 【变式3】(25-26高三上·安徽皖豫联考·期中)已知扇形的面积为，圆心角为1弧度，则扇形的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据扇形的弧长、面积、周长公式求解即可. 【详解】记扇形的弧长、半径、圆心角分别为，，，， 则扇形的面积为，解得，则弧长为， 所以扇形的周长为． 故选：D 【变式4】机械学家莱洛发现的莱洛三角形给人以对称的美感．莱洛三角形的画法：先画等边三角形ABC，再分别以点A，B，C为圆心，线段AB长为半径画圆弧，便得到莱洛三角形．若线段AB长为1，则莱洛三角形的周长是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据图形分析，利用扇形的圆心角、半径、弧长的关系，即可求解. 【详解】由已知，． 得， 则莱洛三角形的周长是 故选：A． 题型05 求扇形的面积 【典例1】(24-25高一上·广东揭阳第二中学·期末)折扇又名“撒扇”、“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨、韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图1.其平面图如图2的扇形，其中，则扇面（曲边四边形）的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据大的扇形面积减去小的扇形面积可求得结果. 【详解】，转化为弧度制为， 扇形的面积为：， 扇形的面积为：， 则曲边四边形的面积为：. 故选：B. 【变式1】(24-25高一下·辽宁大连辽宁师范大学附属中学·)《九章算术》是我国算术名著，其中有这样的一个问题：“今有宛田，下周三十步，径十六步，问为田几何？”意思是说：“现有扇形田，弧长30步，直径16步，问面积是多少？”则此问题的正确结果是（    ） A．120平方步 B．180平方步 C．240平方步 D．480平方步 【答案】A 【分析】应用扇形面积公式求面积即可. 【详解】由题设及扇形的面积公式有平方步. 故选：A 【变式2】(24-25高一上·四川内江·期末)中国扇子历史悠久，源远流长，在长达数千年的发展过程中，被赋予了极其深厚的文化内涵和鲜明的民族特色．自古中国就有“制扇王国”的美誉，数量之大品种之多，皆居世界首位．如图，现从一圆面中剪下一个扇形制作一把扇形扇子，为了使扇子形状更为美观，要求剪下的扇形和圆面剩余部分的面积比值为黄金分割比，则扇子的圆心角应为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意结合扇形面积公式运算求解即可. 【详解】设圆的半径为，剪下的扇形的圆心角为，则圆面剩余部分的圆心角为， 由题意可得：，解得. 故选：A. 【变式3】(24-25高一上·湖南湘潭·期末)如图，这是一块扇形菜地，是弧的中点，是该扇形菜地的弧所在圆的圆心，D为和的交点，若米，则该扇形菜地的面积是（    ） A．平方米 B．平方米 C．平方米 D．平方米 【答案】A 【分析】先求得扇形的圆心角，然后求得米，再利用勾股定理和扇形面积公式求得正确答案. 【详解】如图，连接．因为是弧的中点，所以，米． 因为，所以，所以， 所以是等边三角形，则． 因为米，所以米，米， 则该扇形菜地的面积是平方米． 故选：A. 【变式4】(25-26高三上·陕西镇安中学·月考)若扇形甲与扇形乙的圆心角之比为，面积之比为，则甲与乙的半径之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据扇形面积公式进行求解即可. 【详解】根据扇形面积公式， 因为， 所以，解得， 故选：A. 题型06 扇形中的最值问题 【典例1】(22-23高一下·辽宁沈阳第二十中学·)已知扇形的周长为20，则该扇形的面积S的最大值为（    ） A．10 B．15 C．20 D．25 【答案】D 【分析】设扇形圆心角为，扇形半径为r，由题可得间关系，后用r表示S，即可得答案. 【详解】设扇形圆心角为，，扇形半径为，， 由题有， 则，当时取等号. 故选：D 【变式1】(24-25高一上·湖北武汉江岸区、江汉区·期末)已知扇形的面积是，当扇形周长最小时，扇形的圆心角的大小为（单位：rad）（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】先表示出扇形的面积得到圆心角与半径的关系，再利用基本不等式求出周长的最小值，进而求出圆心角的度数. 【详解】设扇形的圆心角为，半径为， 则由题意可得， ∴ ， 当且仅当时 , 即时取等号， ∴当扇形的圆心角为2时 , 扇形的周长取得最小值8. 故选：D. 【变式2】(21-22高一下·辽宁大连第八中学·)已知某扇形的面积为3，则该扇形的周长最小值为（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】设扇形的弧长为，半径为，由题意可知，再利用基本不等式，即可求出扇形的周长最小值. 【详解】设扇形的弧长为，半径为， 所以扇形的面积为，所以， 又扇形的周长为，所以，当且仅当，即时，取等号. 故选：D. 【变式3】(20-21高一下·河北衡水武强中学·月考)已知扇形OAB的周长是60 cm，则扇形OAB的面积最大时圆心角的弧度数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由弧长公式以及扇形的面积公式，结合二次函数的性质求解即可. 【详解】设半径为，圆心角的弧度数为，则，即 则扇形OAB的面积为 当时，扇形OAB的面积最大，此时圆心角的弧度数为 故选：B 【变式4】(21-22高一上·江苏苏州·期末)立德中学拟建一个扇环形状的花坛（如图），该扇环面由以点为圆心的两个同心圆弧和延长后可通过点的两条直线段围成.按设计要求扇环的周长为30米，其中大圆环所在圆的半径为10米，设计小圆环所在圆的半径为米，圆心角为（弧度），当时， 米；现要给花坛的边缘（实线部分）进行装饰，已知直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米，则花坛每平方米的装饰费用的最小值为 元（）. 【答案】 / 【分析】由题意可得，，当时，解得，再结合换元法，以及基本不等式的公式，即可求解. 【详解】由题意可得，，解得， 当时，解得， ， 装饰费为 故， 令，， 则， ∵，当且仅当，即，即时，等号成立， ∴的最小值为， 花坛每平方米的装饰费用最小为元. 故答案为：5；. 题型07 扇形弧长与面积公式的综合应用 【典例1】(25-26高一上·山东青岛第六十八中学·)我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”现有一类问题：不确定大小的圆柱形木材，部分埋在墙壁中，其截面如图所示，用锯去锯这木材，若锯口深，锯道，则图中弧与弦AB围成的弓形的面积为（    ） A． B．8 C． D． 【答案】C 【分析】根据弓形的面积等于扇形的面积减去三角形的面积，结合扇形的面积公式即可得解. 【详解】由题意， 在中，， 即，解得， 故，所以， 因此. 故选：C. 【变式1】(25-26高一上·山东青岛第二中学·)如图，等边的边长为4，把的各边分别向两个方向延伸，且延伸长度为的一段，然后分别以三个顶点为圆心画圆弧，使得三个内角所对的圆弧的半径均为，它们的对顶角所对的圆弧的半径均为，由这样的六条圆弧组成的图形叫做圆弧六边形.已知某圆弧六边形的周长为，则该圆弧六边形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据弧长公式列出方程求参数值，再由扇形的面积公式计算即可得. 【详解】由题意，圆弧六边形的面积 ， 圆弧六边形的周长，即， 所以. 故选：A 【变式2】(22-23高一下·河南南阳第二中学校·期中)圆环被同圆心的扇形截得的一部分叫做扇环．如图所示，扇环的内圆弧的长为，外圆弧的长为，圆心角，则该扇环的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据扇形面积公式计算即可得解. 【详解】由扇形面积公式（其中为扇形弧长，为扇形圆心角，为扇形半径）可得，扇环面积. 故选：A 【变式3】(23-24高一上·山西运城·期末)《九章算术》是一部中国古代的数学专著．第一章《方田》主要讲各种形状的田地面积的计算方法，其中将圆环或不足一匝的圆环形田地称为“环田”（注：匝，意为周，环绕一周叫一匝）书中提到如图所示的一块“环田”：中周九十五步，外周一百二十五步，所在扇形的圆心角大小为5（单位：弧度），则“该环田”的面积为（    ）    A．600平方步 B．640平方步 C．660平方步 D．700平方步 【答案】C 【分析】设中周的半径是，外周的半径是，圆心角为，根据中周九十五步，外周一百二十五步，列关系式即可. 【详解】设中周的半径是，外周的半径是，圆心角为，,解得：， 则“该环田”的面积为平方步. 故选：C 【变式4】中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴．一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，如图，设扇形的面积为，其圆心角为，圆面中剩余部分的面积为，当与的比值为时，扇面为“美观扇面”，则下列结论错误的是（    ）（参考数据：）    A． B．若，扇形的半径，则 C．若扇面为“美观扇面”，则 D．若扇面为“美观扇面”，扇形的半径，则此时的扇形面积为 【答案】D 【分析】求得判断选项A；求得满足条件的的值判断选项B；求得满足条件的的值判断选项C；求得满足条件的扇形面积的值判断选项D. 【详解】扇形的面积为，其圆心角为，半径为R，圆面中剩余部分的面积为， 选项A：.故A正确； 选项B：由，可得 ，解得，又扇形的半径， 则.故B正确； 选项C：若扇面为“美观扇面”，则， 解得.故C正确； 选项D：若扇面为“美观扇面”，则，又扇形的半径， 则此时的扇形面积为.故D错误. 故选：D 1．从2023年12月14日13∶00到当天13∶25，某时钟的分针转动的弧度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据弧度的概念求解. 【详解】因为分针是按照顺时针方向旋转，所以转动的角为负角， 所以分针转动的弧度为. 故选：C. 2．(22-23高一上·上海松江区华东政法大学附属松江高级中学·期末)下列命题中，正确的是（    ） A．1弧度的角就是长为半径的弦所对的圆心角 B．若是第一象限的角，则也是第一象限的角 C．若两个角的终边重合，则这两个角相等 D．用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关 【答案】B 【分析】由角度制和弧度制的定义，象限角的概念，判断各选项的正误. 【详解】1弧度的角就是长为半径的弧所对的圆心角，A选项错误； 若是第一象限的角，则是第四象限的角，所以是第一象限的角，B选项正确； 当，时，与终边重合，但两个角不相等，C选项错误； 不论是用角度制还是弧度制度量角，由角度值和弧度值的定义可知度量角与所取圆的半径无关，D选项错误. 故选：B 3．(21-22高三上·湖北金太阳百校联考·月考)如图所示的复古时钟显示的时刻为，将时针与分针视为两条线段，则该时刻的时针与分针所夹的钝角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先确定当时针指向，分针指向时，时针与分针的夹角，减掉分针指向时，时针由向移动的弧度即可得到结果. 【详解】表有个刻度，相邻两个刻度所对的圆心角为； 当时针指向，分针指向时，时针与分针夹角为； 但当分针指向时，时针由向移动了； 该时刻的时针与分针所夹钝角为. 故选：B. 4．(23-24高一上·天津河西区·期末)已知是第一象限角，那么不可能是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】D 【分析】由题意可得，由此得，讨论k的取值，即分、、进行讨论，即可确定答案. 【详解】由题意是第一象限角，即， 故， 当时，，是第一象限角； 当时，，是第二象限角； 当时，，是第三象限角； 故不可能是第四象限角， 故选：D 5．(22-23高一下·湖北云学新高考联盟学校·)设集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】选取不同的值，求出交集. 【详解】当时，，当时，或， 当取其他整数时，均不在内， 故. 故选：C 6．(22-23高一下·安徽六安舒城中学·开学考)角的弧度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用公式可求角的弧度数. 【详解】角对应的弧度数为， 故选：B. 7．(21-22高一下·西藏林芝第二高级中学·期末)的角化为弧度制的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据角度和弧度的换算公式即可得到答案. 【详解】． 故选：C. 8．下列结论错误的是（    ） A．－150°化成弧度是 B．化成度是－600° C．化成弧度是 D．化成度是15° 【答案】A 【分析】利用弧度和度的互化公式对选项进行逐一验证即可得出答案. 【详解】对于A，，A错误； 对于B，，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，，D正确． 故选：A 9．(25-26高一上·山西晋城第一中学校·调研)小李同学在学习了《任意角和弧度制》后，临摹了一件扇形瓷器盘（图1）的大致形状，如图2所示，已知在扇形中，，，则下列结论中错误的是（    ） A． B．弧长 C．扇形的周长为 D．扇形的面积为 【答案】D 【分析】根据弧度制与角度制的互化判断A；根据弧长公式判断B：根据扇形的周长和面积公式判断C和D. 【详解】对于A：，A正确； 对于B：，B正确； 对于C：扇形的周长为，C正确； 对于D：扇形的面积为，D错误； 故选：D 10．(25-26高一上·黑龙江大庆让胡路区大庆第一中学·期末)已知相互啮合的两个齿轮，大轮有40齿，小轮有25齿，小轮的半径为，若大轮的转速为（转/分），则小轮轮周上一点每秒转过的弧长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设大齿轮的半径为，小齿轮的半径为，结合大齿轮的齿数和小齿轮的齿数得到，解得，由大轮的转速为（转/分），从而得到小轮的转速为，即小轮的转速为，故小轮轮周上一点每秒转过的弧长为计算得解. 【详解】设大齿轮的半径为，小齿轮的半径为， 大齿轮的齿数为，小齿轮的齿数为， 故有，解得，大轮的转速为（转/分）， 则小轮的转速为， 即小轮的转速为， 故小轮轮周上一点每秒转过的弧长为. 故选：B. 11．(25-26高一上·河南TOP20名校大联考·月考)已知一个扇形的圆心角为，弧长为，则该扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据扇形的弧长公式与面积公式直接计算即可. 【详解】设扇形的半径为， 则扇形的弧长，即， 解得， 则扇形面积， 故选：A. 12．(24-25高二下·河北邯郸涉县第一中学·期末)已知扇形的圆心角为2，弧长为，面积为，扇形所在圆的半径为，则取最小值时，半径的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据弧长和扇形的面积公式，将转化为关于的函数，利用基本不等式求解即可. 【详解】因为扇形的圆心角为2，扇形所在圆的半径为， 所以弧长，面积， 所以， 当且仅当时取等号， 故选：B. 13．(24-25高一下·广东中山迪茵公学·)已知扇形的弧长为，圆心角为，则扇形的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用扇形的面积公式进行求解即可. 【详解】设扇形的弧长为，半径为，圆心角为，则， 所以扇形的面积为. 故选：A. 14．(24-25高一下·贵州六盘水水城区·)如图1，这是杭州第19届亚运会会徽，名为“潮涌”.如图2，这是“潮涌”的平面图，若，则图形的面积与扇形的面积的比值是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设扇形的圆心角为，利用扇形的面积公式，分别求得扇形和的面积，进而求得图形的面积与扇形的面积的比值，得到答案. 【详解】解：设扇形的圆心角为， 可得扇形的面积为，扇形的面积为， 因为，所以，即， 所以图形的面积与扇形的面积的比值. 故选：D. 15．(24-25高一下·湖北公安县第三中学·开学考)如图，在扇形中，，，则下列说法正确的个数是（ ） ①；          ②的长等于； ③扇形的周长为； ④扇形的面积为. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】根据题意，结合角度制与弧度制的互化，以及扇形的弧长与面积公式，逐项判定，即可求解. 【详解】对于①，因为，根据角度制与弧度制的互化，可得，所以①正确； 对于②，由扇形的弧长公式，可得的长度为，所以②正确 对于③，所以扇形的周长为，所以③正确； 对于④，由扇形的面积公式，可得扇形的面积为，所以④正确. 故选：D. 16．(25-26高三上·天津崇化中学·)已知某扇形的周长为8，则当此扇形的面积最大时，半径为（   ） A．2 B．4 C．0.5 D．0.25 【答案】A 【分析】设扇形所在圆的半径为，弧长为，得到，结合扇形的面积公式和二次函数的性质，即可求解. 【详解】设扇形所在圆的半径为，弧长为，可得， 所以扇形的面积为， 于是，当时，扇形的面积最大. 故选：A 17．(24-25高一上·江苏梅村高级中学·)体育老师为了方便学生练习掷铅球，在操场上画了一块扇环形区域（图中阴影部分），其中和均以为圆心，．若，，且（表示弧长），则这块扇环形区域的面积最大值为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合扇形的弧长公式可得，再结合扇形面积公式及二次函数性质可得最值. 【详解】由扇形弧长公式可得， 即， 又， 所以 ， 所以当时，最大为， 故选：C. 18．(22-23高一下·江苏南京第二十九中学·)已知扇形AOB的周长是6cm，该扇形的圆心角是1弧度，则该扇形的面积（　　） A．3 B．2 C．4 D．5 【答案】B 【分析】求出扇形的弧长，从而得到，求出半径，进而得到扇形的面积. 【详解】设扇形的半径为 ∵扇形圆心角1弧度，所以扇形弧长和面积为整个圆的． 弧长， 故扇形周长cm， ∴， 扇形面积． 故选：B． 19．(20-21高一上·云南丽江·期末)已知扇形的弧长为，圆心角为，则该扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用扇形的圆心角和弧长可求出扇形的半径，再求扇形的面积． 【详解】解：扇形的圆心角为，弧长为， 扇形的半径， 扇形的面积． 故选：B． 20．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积（），弧田（如图）由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.现已知弧田面积为，且弦是矢的倍，按照上述经验公式计算所得弧田的弧长是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据弧田面积可求得，利用勾股定理可构造方程求得半径，并根据长度关系得到圆心角弧度数，利用扇形弧长公式可求得结果. 【详解】如图，    由题意得：， 弧田面积，解得：. 设圆半径为，则有，即，解得：， ，则在中，，， 所求弧长为. 故选：D. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.3 弧度制 教学目标 1.了解弧度制的定义，明确角的集合与实数集的对应关系； 2.掌握角度与弧度的互化方法，熟记特殊角的弧度数； 3.会用弧度制计算扇形的弧长与面积。 教学重难点 1.重点 （1）弧度制的定义：理解 “1 弧度的角” 的概念； （2）角度与弧度的互化：熟练掌握互化公式； （3）弧度制下扇形的弧长与面积公式：能运用公式、计算。 2.难点 （1）角度与弧度的灵活互化：尤其是含分、秒的角度化弧度，或非特殊弧度化角度； （2）弧度制公式的应用：区分角度制与弧度制下扇形公式的差异，避免混淆。 知识点01 角度与弧度的概念 1. 用度作为单位来度量角的单位制叫作角度制，规定周角的______等于1度，记作1° 2. 弧度制的定义：在单位圆中，把长度等于______的弧所对的圆心角称为______，用符号rad表示，读作______。以弧度作为单位来度量角的单位制叫作弧度制。 3. 任意角的弧度数与实数的对应关系：正角的弧度数是一个______；负角的弧度数是一个______；零角的弧度数是______。 注意要点： （1）用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但数量相同（都是 0）；用角度制和弧度制度量任意非零角，单位不同，数量也不同； （2）角度的单位“°”不可省略，而弧度的单位“rad”可以省略； （3）在同一个式子中，角度、弧度不能混合使用。 【即学即练】 1．(24-25高一上·重庆万州第三中学等多校·月考)将钟表的分针拨快20分钟，则时针转过的角的弧度数为（    ） A． B． C． D． 2．若圆弧长度等于圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为（    ） A． B． C．3 D． 知识点02 角度与弧度的换算 1. 角度化弧度：（1）；（2）；（3）。 2. 弧度化角度：（1）；（2）；（3）。 3. 常用特殊角的对照关系： 0° 15° 30° 45° 60° 75° 90° 120° 135° 150° 4. 常用解题策略： （1）____________，____________； （2）将角度化为弧度时，若角度制中含有“分”“秒”单位，应先把它们统一化为“度”的形式，再利用“”的关系转化为弧度即可。 【即学即练】 3．(25-26高一上·四川达州中学·)化为弧度是（    ） A． B． C． D． 4．(25-26高一上·四川大数据智学领航联盟·)化为角度是（   ） A． B． C． D． 知识点03 扇形弧长与面积公式 设扇形半径为，弧长为，角度制圆心角为°，弧度制圆心角为，则： 为角度制 为弧度制 扇形弧长 扇形面积 【即学即练】 5．(25-26高一上·河南漯河高级中学·月考)若圆心角为的扇形的面积为，则扇形的弧长为（    ） A． B． C． D． 6．已知圆心角为的扇形其弧长为，则该扇形面积为（    ） A． B． C． D． 知识点04 用弧度制表示任意角 1. 用弧度制表示各象限角的集合如下： （1）第一象限角：______________________________； （2）第二象限角：______________________________； （3）第三象限角：______________________________； （4）第四象限角：______________________________ （注：对应角度制的，体现终边的周期性重复） 2. 用弧度制表示终边相同的角：设已知角为（单位：弧度），则与角终边相同的角的集合（弧度制表示）为： 【即学即练】 7．(16-17高一下·上海青浦高级中学·)下列各组角中，终边相同的角是（    ） A．与 B． C．与 D．与 8．(22-23高一下·山东新高考联合质量测评·)若，，则终边所在象限为（    ） A．第一象限 B．第一、三象限 C．第二象限 D．第二、四象限 题型01 用弧度制表示任意角 【典例1】(23-24高一下·广东佛山第二中学·月考)与角终边相同的角是（    ） A． B． C． D． 【变式1】(22-23高一上·陕西咸阳西北农林科技大学附属中学·月考)下列命题： 第四象限的角可表示为 第二象限角大于第一象限角 将表的分针拨快分钟，则分针转过的角为 若是第二象限角，则的终边在第一象限． 其中真命题的个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式2】(21-22高一·5.1.2弧度制-·)用弧度制表示与角的终边相同的角的集合为（    ） A． B． C． D． 【变式3】(20-21高一下·内蒙古鄂尔多斯第一中学·月考)我国采用的“密位制”是6000密位制，即将一个圆周分为6000等份，每一等份是一个密位，那么60密位等于（    ）弧度． A． B． C． D． 【变式4】如图所示，终边落在阴影部分内的角α的取值集合为 . 题型02 角度化弧度 【典例1】化为弧度是（    ） A． B． C． D． 【变式1】(24-25高一下·安徽·调研)将75°化为弧度是（    ） A． B． C． D． 【变式2】(24-25高一上·北京大学附属中学元培学院·期中)角对应的弧度制大小和终边所在象限分别是（    ） A．，第一象限 B．，第一象限 C．，第二象限 D．，第二象限 【变式3】(22-23高一上·内蒙古海拉尔第一中学·期末)将化为弧度制，正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式4】(22-23高一下·辽宁铁岭昌图县第一高级中学·月考)化成的形式是（    ） A． B． C． D． 题型03 弧度化角度 【典例1】(25-26高一上·云南昆明外国语学校禄劝分校（禄劝民族中学）·月考)弧度化成角度为（   ） A． B． C． D． 【变式1】(24-25高一下·黑龙江齐齐哈尔第六中学校·月考)弧度对应角化成角度为（   ） A． B． C． D． 【变式2】(24-25高一上·山东菏泽巨野县第二中学·月考)（   ） A． B． C． D． 【变式3】(24-25高一上·江苏淮安涟水县第一中学·月考)弧度等于（　　 ） A． B． C． D． 【变式4】(24-25高一上·天津河西区·期末)将化成角度为（    ） A． B． C． D． 题型04 求扇形的弧长或周长 【典例1】(25-26高一上·宁夏六盘山高级中学·月考)若扇形的圆心角为，半径为6cm，则这个扇形的弧长是（    ） A． B． C． D． 【变式1】(25-26高一上·甘肃张掖肃南裕固族自治县第一中学等七校·调研)在单位圆中，的圆心角所对的弧长为（　　） A． B． C． D． 【变式2】(24-25高一下·安徽马鞍山第二中学·开学考)已知扇形AOB的圆心角为，面积为，则扇形AOB的弧长是（    ） A． B． C． D． 【变式3】(25-26高三上·安徽皖豫联考·期中)已知扇形的面积为，圆心角为1弧度，则扇形的周长为（    ） A． B． C． D． 【变式4】机械学家莱洛发现的莱洛三角形给人以对称的美感．莱洛三角形的画法：先画等边三角形ABC，再分别以点A，B，C为圆心，线段AB长为半径画圆弧，便得到莱洛三角形．若线段AB长为1，则莱洛三角形的周长是（    ） A． B． C． D． 题型05 求扇形的面积 【典例1】(24-25高一上·广东揭阳第二中学·期末)折扇又名“撒扇”、“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨、韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图1.其平面图如图2的扇形，其中，则扇面（曲边四边形）的面积是（    ） A． B． C． D． 【变式1】(24-25高一下·辽宁大连辽宁师范大学附属中学·)《九章算术》是我国算术名著，其中有这样的一个问题：“今有宛田，下周三十步，径十六步，问为田几何？”意思是说：“现有扇形田，弧长30步，直径16步，问面积是多少？”则此问题的正确结果是（    ） A．120平方步 B．180平方步 C．240平方步 D．480平方步 【变式2】(24-25高一上·四川内江·期末)中国扇子历史悠久，源远流长，在长达数千年的发展过程中，被赋予了极其深厚的文化内涵和鲜明的民族特色．自古中国就有“制扇王国”的美誉，数量之大品种之多，皆居世界首位．如图，现从一圆面中剪下一个扇形制作一把扇形扇子，为了使扇子形状更为美观，要求剪下的扇形和圆面剩余部分的面积比值为黄金分割比，则扇子的圆心角应为（   ） A． B． C． D． 【变式3】(24-25高一上·湖南湘潭·期末)如图，这是一块扇形菜地，是弧的中点，是该扇形菜地的弧所在圆的圆心，D为和的交点，若米，则该扇形菜地的面积是（    ） A．平方米 B．平方米 C．平方米 D．平方米 【变式4】(25-26高三上·陕西镇安中学·月考)若扇形甲与扇形乙的圆心角之比为，面积之比为，则甲与乙的半径之比为（    ） A． B． C． D． 题型06 扇形中的最值问题 【典例1】(22-23高一下·辽宁沈阳第二十中学·)已知扇形的周长为20，则该扇形的面积S的最大值为（    ） A．10 B．15 C．20 D．25 【变式1】(24-25高一上·湖北武汉江岸区、江汉区·期末)已知扇形的面积是，当扇形周长最小时，扇形的圆心角的大小为（单位：rad）（    ） A． B． C．1 D．2 【变式2】(21-22高一下·辽宁大连第八中学·)已知某扇形的面积为3，则该扇形的周长最小值为（    ） A．2 B．4 C． D． 【变式3】(20-21高一下·河北衡水武强中学·月考)已知扇形OAB的周长是60 cm，则扇形OAB的面积最大时圆心角的弧度数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式4】(21-22高一上·江苏苏州·期末)立德中学拟建一个扇环形状的花坛（如图），该扇环面由以点为圆心的两个同心圆弧和延长后可通过点的两条直线段围成.按设计要求扇环的周长为30米，其中大圆环所在圆的半径为10米，设计小圆环所在圆的半径为米，圆心角为（弧度），当时， 米；现要给花坛的边缘（实线部分）进行装饰，已知直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米，则花坛每平方米的装饰费用的最小值为 元（）. 题型07 扇形弧长与面积公式的综合应用 【典例1】(25-26高一上·山东青岛第六十八中学·)我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”现有一类问题：不确定大小的圆柱形木材，部分埋在墙壁中，其截面如图所示，用锯去锯这木材，若锯口深，锯道，则图中弧与弦AB围成的弓形的面积为（    ） A． B．8 C． D． 【变式1】(25-26高一上·山东青岛第二中学·)如图，等边的边长为4，把的各边分别向两个方向延伸，且延伸长度为的一段，然后分别以三个顶点为圆心画圆弧，使得三个内角所对的圆弧的半径均为，它们的对顶角所对的圆弧的半径均为，由这样的六条圆弧组成的图形叫做圆弧六边形.已知某圆弧六边形的周长为，则该圆弧六边形的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式2】(22-23高一下·河南南阳第二中学校·期中)圆环被同圆心的扇形截得的一部分叫做扇环．如图所示，扇环的内圆弧的长为，外圆弧的长为，圆心角，则该扇环的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式3】(23-24高一上·山西运城·期末)《九章算术》是一部中国古代的数学专著．第一章《方田》主要讲各种形状的田地面积的计算方法，其中将圆环或不足一匝的圆环形田地称为“环田”（注：匝，意为周，环绕一周叫一匝）书中提到如图所示的一块“环田”：中周九十五步，外周一百二十五步，所在扇形的圆心角大小为5（单位：弧度），则“该环田”的面积为（    ）    A．600平方步 B．640平方步 C．660平方步 D．700平方步 【变式4】中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴．一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，如图，设扇形的面积为，其圆心角为，圆面中剩余部分的面积为，当与的比值为时，扇面为“美观扇面”，则下列结论错误的是（    ）（参考数据：）    A． B．若，扇形的半径，则 C．若扇面为“美观扇面”，则 D．若扇面为“美观扇面”，扇形的半径，则此时的扇形面积为 1．从2023年12月14日13∶00到当天13∶25，某时钟的分针转动的弧度为（    ） A． B． C． D． 2．(22-23高一上·上海松江区华东政法大学附属松江高级中学·期末)下列命题中，正确的是（    ） A．1弧度的角就是长为半径的弦所对的圆心角 B．若是第一象限的角，则也是第一象限的角 C．若两个角的终边重合，则这两个角相等 D．用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关 3．(21-22高三上·湖北金太阳百校联考·月考)如图所示的复古时钟显示的时刻为，将时针与分针视为两条线段，则该时刻的时针与分针所夹的钝角为（    ） A． B． C． D． 4．(23-24高一上·天津河西区·期末)已知是第一象限角，那么不可能是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 5．(22-23高一下·湖北云学新高考联盟学校·)设集合，则（    ） A． B． C． D． 6．(22-23高一下·安徽六安舒城中学·开学考)角的弧度数为（    ） A． B． C． D． 7．(21-22高一下·西藏林芝第二高级中学·期末)的角化为弧度制的结果为（    ） A． B． C． D． 8．下列结论错误的是（    ） A．－150°化成弧度是 B．化成度是－600° C．化成弧度是 D．化成度是15° 9．(25-26高一上·山西晋城第一中学校·调研)小李同学在学习了《任意角和弧度制》后，临摹了一件扇形瓷器盘（图1）的大致形状，如图2所示，已知在扇形中，，，则下列结论中错误的是（    ） A． B．弧长 C．扇形的周长为 D．扇形的面积为 10．(25-26高一上·黑龙江大庆让胡路区大庆第一中学·期末)已知相互啮合的两个齿轮，大轮有40齿，小轮有25齿，小轮的半径为，若大轮的转速为（转/分），则小轮轮周上一点每秒转过的弧长为（    ） A． B． C． D． 11．(25-26高一上·河南TOP20名校大联考·月考)已知一个扇形的圆心角为，弧长为，则该扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 12．(24-25高二下·河北邯郸涉县第一中学·期末)已知扇形的圆心角为2，弧长为，面积为，扇形所在圆的半径为，则取最小值时，半径的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 13．(24-25高一下·广东中山迪茵公学·)已知扇形的弧长为，圆心角为，则扇形的面积为（ ） A． B． C． D． 14．(24-25高一下·贵州六盘水水城区·)如图1，这是杭州第19届亚运会会徽，名为“潮涌”.如图2，这是“潮涌”的平面图，若，则图形的面积与扇形的面积的比值是（    ）    A． B． C． D． 15．(24-25高一下·湖北公安县第三中学·开学考)如图，在扇形中，，，则下列说法正确的个数是（ ） ①；          ②的长等于； ③扇形的周长为； ④扇形的面积为. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 16．(25-26高三上·天津崇化中学·)已知某扇形的周长为8，则当此扇形的面积最大时，半径为（   ） A．2 B．4 C．0.5 D．0.25 17．(24-25高一上·江苏梅村高级中学·)体育老师为了方便学生练习掷铅球，在操场上画了一块扇环形区域（图中阴影部分），其中和均以为圆心，．若，，且（表示弧长），则这块扇环形区域的面积最大值为（   ）    A． B． C． D． 18．(22-23高一下·江苏南京第二十九中学·)已知扇形AOB的周长是6cm，该扇形的圆心角是1弧度，则该扇形的面积（　　） A．3 B．2 C．4 D．5 19．(20-21高一上·云南丽江·期末)已知扇形的弧长为，圆心角为，则该扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 20．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积（），弧田（如图）由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.现已知弧田面积为，且弦是矢的倍，按照上述经验公式计算所得弧田的弧长是（    ）    A． B． C． D． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $