第一章 §1　周期变化（教师用书）-2022-2023学年新教材高中数学必修第二册【正禾一本通】同步课堂高效讲义（北师大版2019）

§1 周期变化 [学习目标] 1.了解周期现象.2.初步了解周期函数的概念． 知识点一 周期函数 一般地，对于函数 y＝f(x)，x∈D，如果存在一个非零常数 T，使得对任意的 x∈D，都有x＋T∈D 且满足 f(x＋T)＝f(x)，那么函数 y＝f(x)称作周期函数，非零常数 T 称作这个函数的周期． 角度一 周期现象的判断 判断下列现象是否为周期现象，并说明理由． (1) 地球的自转； (2) 连续抛掷一枚骰子，朝上一面的点数； (3)钟表的秒针的转动； (4)某段高速公路每天通过的车辆数． 解析： (1)地球每天自转一圈，并且每一天内的任何时段总会重复前一天内相同时段的动作，因此是周期现象． (2) 连续抛掷一枚骰子，朝上一面的点数有可能为 1，2，…，6，并且前一次出现的点数， 下一次可能出现，也可能不出现，故出现的点数是随机的，因此不是周期现象． (3) 钟表的秒针的转动，每一分钟转一圈，并且每分钟总是重复前一分钟的动作，因此是 周期现象． (4) 某段高速公路每天通过的车辆数，会因时间、天气、交通状况等因素而发生变化，没 有一个确定的规律，因此不是周期现象． 方法技巧 周期现象的判断关键：首先要认真审题，明确题目的实际背景，然后应牢牢抓住“间隔 相同，现象(或值)重复出现”这一重要特征进行判断． 即时练 1.下列现象是周期现象的是( ) ①日出日落 ②潮汐 ③海啸 ④地震 A．①② B．①②③ C．①②④ D．③④ A [①每天日出日落，周期为一天；②潮汐是指海水在天体(主要是月球和太阳)引潮力作用下所产生的周期性运动；而③海啸和④地震是随机现象．故选 A.] 角度二 利用函数的周期求值 已知定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x＋2)＝f(x)，当 x∈[－1，1]时，f(x)＝x2＋1，则f(2 022.5)＝( ) A．17 16 B．5 4 C．2 D．1 B [由 f(x＋2) ＝f (x) 可知，函数 f (x) 的周期为 2，当 x∈[－1，1]时，f(x)＝x2＋1， ∴f(2 022.5)＝f 2 022＋1 2 ＝f 1 ＋1 5 ( 1 2 ) ( ＝ ) ( ＝ )4 4 .故选 B.] 方法技巧 根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数整体的性质，在解决具体问题时， 要注意结论：若 T 是函数的周期，则 kT(k∈Z 且 k≠0)也是函数的周期． 即时练 2.若函数 f (x) 是以π 2 为周期的周期函数，且 f ( π 3 )＝1，则 f ( 17 π 6 )的值是( ) A．±1 B．－1 C．1 D．无法确定 C [因为 f (x) 是以π 2 为周期的周期函数，且 f ＋ ( π 3 ) ( 17 π 6 ) ( 15 π 6 ) ( 2 π 6 )＝1，则 f ＝f ( π 3 )＝ ( π 2 ) ( π 3 )×5＋ f ＝f ＝1.故选 C.] 学生用书 第 2 页 知识点二 最小正周期 如果在周期函数 y＝f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就称作函数 y＝f(x)的最小正周期．若不加特别说明，本书所指周期均为函数的最小正周期． [点拨] (1)周期 T 是非零常数，是使函数值重复出现的自变量 x 的增加值． (2) 周期函数的周期不是唯一的，如果 T 是函数 f(x)的周期，那么 nT(n∈Z，n≠0)也一定是它的周期． (3) 不是所有周期函数都有最小正周期，如：函数 f(x)＝1 是周期函数，但无最小正周期． 角度一 函数周期性的判断 (1)(多选)下列是定义在 R 上的四个函数图象的一部分，其中是周期函数的是( ) (2)已知定义在 N 上的函数 f(n)满足：f(n＋2)＝f(n＋1)－f(n). ①求证：f(n)是周期函数，并求出其周期； ②若 f(1)＝1，f(2)＝3，求 f(2 012)的值． 解析： (1)由图象及周期性定义可知，A、B、C 都是周期函数，D 不是周期函数，故选 ABC. (2)①证明：因为 f(n＋2)＝f(n＋1)－f(n)， 所以 f(n＋3)＝f(n＋2)－f(n＋1) ＝[f(n＋1)－f(n)]－f(n＋1)＝－f(n)， 所以 f(n＋6)＝－f(n＋3)＝－[－f(n)]＝f(n). 所以 f(n)是周期函数，周期为 6. ②因为 f(n)是周期为 6 的函数，且 f(1)＝1，f(2)＝3， 所以 f(2 012)＝f(335×6＋2)＝f(2)＝3. 答案： (1)ABC 方法技巧 1. 观察函数图象判断周期性，关键是观察图象是否是周而复始重复出现． 2. 用定义法判断周期性，关键是证明对于任意的 x∈D，都有 x＋T∈D 且满足 f(x＋T)