第一章 §8　三角函数的简单应用（教师用书）-2022-2023学年新教材高中数学必修第二册【正禾一本通】同步课堂高效讲义（北师大版2019）

( － )π π ， π 1 ω 2π ∴f (x) 在 x∈ 3 4 上为严格增函数，∴－ 3 >－ T＝－ 2 2 ，∴ω> . 3 ( | )π ∵ f － 3 π ( | )>f 4 π － ，∴f 3 ( π ω )－π ≥－3， ( π 3 )－ 即 f ＝ 3 tan ( π ω )π × 3 ≥－3， － × 即 tan 3 ≥－ 3 ，∴－π ×π ≥－π ，∴ω≥π. 3 ω 3 §8 三角函数的简单应用 [学习目标] 会用三角函数解决简单的实际问题，体会利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型． 知识点 三角函数的简单应用 周期现象是自然界中最常见的现象之一，三角函数是研究周期现象最重要的数学模型． 角度一 已知三角函数的解析式解决实际问题 某实验室白天的温度 f(t)(单位：℃)随时间 t(单位：时)的变化近似满足函数关系： π t＋π f(t)＝10－2sin 12 3 ，t∈[6，18]. (1) 求实验室白天的最大温差； (2) 若要求实验室温度不高于 11 ℃，则在哪段时间实验室需要降温？ π π 解析： (1)因为 6≤t≤18，所以5π 6 ≤ π t＋π 12 3 ≤11π 6 ，－1≤sin t＋ 12 3 ≤1 ， 2 9≤10－2sin t＋ ( π 12 ) ( π 3 )≤12， 所以 f(t)在 t∈[6，18]上取得的最大值为 12，最小值为 9， 故实验室白天的最高温度为 12 ℃，最低温度为 9 ℃，最大温差为 3 ℃. (2)依题意当 f(t)>11 时，实验室需要降温， π π π π 即 10－2sin t＋ 12 3 >11，sin t＋ 12 3 <－1 ， 2 所以 2kπ＋7π 6 π π ( t )< ＋ 12 3 <2k 11π π＋ 6 ，k∈Z， 所以 24k＋10<t<24k＋18，k∈Z， 因为 6≤t≤18，所以取 k＝0，得 10<t<18， 即在 10 时到 18 时，实验室需要降温． 学生用书 第 42 页 方法技巧 已知实际问题的函数解析式解决相关问题，题目一般较容易，只需根据函数解析式 结合题目中所提供的信息进行求解即可． 即时练 1.阻尼器是一种以提供运动的阻力，从而达到减振效果的专业工程装置．深圳第一高楼平安金融中心的阻尼器减震装置，是亚洲最大的阻尼器，被称为“镇楼神器”．由物 理学知识可知，某阻尼器模型的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移 s(cm) 和时间 t(s)的函数关系式为 s＝2sin (ωt＋φ) ，其中ω>0，若该阻尼器模型在摆动过程中连续三次位移为 s0 (－2<s0<2) 的时间分别为 t1，t2，t3，且 t3－t1＝2，则ω＝( ) A．π 2 C．3π 2 B．π D．2π B [由正弦型函数的性质，画出函数示意图如图： 所以 T＝t －t ＝2 2π ＝2，可得ω＝π. 3 1 ，则 ω 故选 B.] 角度二 建立三角函数模型解决实际问题 如图，天津之眼，全称天津永乐桥摩天轮，是世界上唯一一个桥上瞰景摩天轮， 是天津的地标之一．永乐桥分上下两层，上层桥面预留了一个长方形开口，供摩天轮轮盘穿过，摩天轮的直径为 110 米，外挂装 48 个透明座舱，在电力的驱动下逆时针匀速旋转，转一圈大约需要 30 分钟．现将某一个透明座舱视为摩天轮上的一个点 P，当点 P 到达最高点时， 距离下层桥面的高度为 113 米，点 P 在最低点处开始计时． (1) 试确定在时刻 t(单位：分钟)时点 P 距离下层桥面的高度 H(单位：米)； (2) 若转动一周内某一个摩天轮透明座舱在上下两层桥面之间的运行时间大约为 5 分钟， 问上层桥面距离下层桥面的高度约为多少米？(结果保留两位小数) 解析： (1)如图，建立平面直角坐标系． 由题意可知 OP 在 t 2π ×t π t， 分钟内所转过的角为 ＝ 30 15 因为点 P 在最低点处开始计时，所以以 Ox 为始边，OP 为终边的角为 π 15 t－π 2 ，所以点 ( π 15 ) ( π 2 )t－ P 的纵坐标为 55sin ， ( 110 2 )πt π 则 H＝55sin － 15 2 113－ ＋ ＝58－55cos π 15 t(t≥0)， 在 t 分钟时点 P 距离下层桥面的高度为(58－55cos π 15 t)米． (2)根据对称性，上层桥面距离下层桥面的高度为点 P 在 t＝5 2 度． 分钟时距离下层桥面的高 由 (1) 可 知 ， 当 t ＝ 5 2 时 ， H ＝ 58 － 55cos π 15 t ＝ 58 － 55cos ×5 ( π 15 )2 ＝ 58 － 55 3 2 ≈10.37