第二章 §6　6.1 第2课时　正弦定理（教师用书）-2022-2023学年新教材高中数学必修第二册【正禾一本通】同步课堂高效讲义（北师大版2019）

c2＝a2＋b2－2ab cos C＝a2＋b2－ab≥ab，即 ab≤c2＝12，当且仅当 a＝b 时取等号． ( ＝ )所以△ABC 的面积 S 1 2 ab sin C 3 ( ＝ )4 ab≤3 3 ，当且仅当 a＝b 时取等号． 因此△ABC 面积的最大值为 3 3 . 第 2 课时 正弦定理 [学习目标] 通过对任意三角形的边长和角度关系的探索，掌握正弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题． 知识点 正弦定理 1. 正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即 a sin A ＝ b sin B ＝ c ． sin C 2. 正弦定理的变形 (1) a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C(边化角). (2) sin A＝ a 2R ，sin B＝ b 2R ，sin C＝ c 2R (角化边). (3) a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C(边角互化). (4) a sin A ＝ b sin B ＝ c sin C a＋b＋c ＝ . sin A＋sin B＋sin C [点拨] (1)利用正弦定理解三角形时，经常用到下列结论： ①三角形内角和定理 A＋B＋C＝π； ②sin (A＋B)＝sin C，cos (A＋B)＝－cos C. (2)注意正确应用正弦定理的变形，如 a＝bsin A sin B ＝csin A sin C ，sin A＝asin B b ＝asin C c .此外， 应注意对解的情况进行讨论和验证． 角度一 已知两角及一边解三角形 在△ABC 中，已知 a＝8，B＝60°，C＝75°，求 A，b. 解析： A＝180°－(B＋C)＝180°－(60°＋75°)＝45°， 由正弦定理 b sin B ＝ a sin A ，得 b＝asin B sin A 8×sin 60° ＝ sin 45° ＝4 6 . 学生用书 第 77 页 方法技巧 已知三角形任意两角和一边解三角形的基本思路 (1) 由三角形的内角和定理求出第三个角． (2) 由正弦定理公式的变形，求另外的两条边． 即时练 1.在△ABC 中，若 A＝105°，B＝45°，b＝2 2 ，则 c 等于( ) A．1 B．2 ( C ． 2 ) ( D ． 3 ) B [在△ABC 中，若 A＝105°，B＝45°，b＝2 2 ，可得 C＝180°－A－B＝30°， 由正弦定理，可得 c＝b sin C sin B 2 2sin 30° ＝ sin 45° ＝2.故选 B.] 角度二 已知两边及其中一边的对角解三角形 在△ABC 中，a＝ 3 ，b＝ 2 ，B＝45°，且 sin 75°＝ 6＋ 2 4 ，sin 15°＝ 6－ 2 . 4 求 A，C，c. 解析： 由正弦定理及已知条件，有 3 sin A ＝ 2 sin 45° ， 得 sin A＝ 3sin 45° 2 ＝ 3 2 × 2 2 ＝ 3 . 2 ∵a>b，∴A>B＝45°，∴A＝60°或 120°. 当 A＝60°时，C＝180°－45°－60°＝75°，c＝bsin C sin B ＝ 2sin 75° sin 45° 2× 6＋ 2 ＝ 4 2 2 ＝ 6＋ 2 ； 2 当 A ＝ 120 ° 时， C ＝ 180 ° － 45 ° － 120 ° ＝ 15 ° ， c ＝ bsin C sin B ＝ 2sin 15° ＝ sin 45° 2× 6－ 2 4 ＝ 6－ 2 . 2 2 2 综上可知：A＝60°，C＝75°，c＝ 6＋ 2 2 或 A＝120°，C＝15°，c＝ 6－ 2 . 2 方法技巧 已知三角形两边和其中一边的对角解三角形的方法 (1) 首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值． (2) 如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角、大角对大边的法则能判断 另一边所对的角为锐角，由正弦值可求唯一锐角． (3) 如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值 可求两个角，要分类讨论． 即时练 2.在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，若 a＝4，b＝3，sin A＝2 ， 3 则 B＝( ) A. π 6 B. π 3 ( ． )C π 或5π 6 6 D．π 3 或2π 3 A [ 由题意可得sin B＝b sin A a 3×2 ＝ 3 ＝1 4 2 ，则B＝π 6 或B 5π 6 .因为b<a，所以B<A， ( ＝ )所以 B＝π 6 .故选 A.] 即时练 3.在△ABC 中，a＝ 3 ，b＝1，∠B＝30°，则∠A＝( ) A．