第二章 §6　6.1 第1课时　余弦定理（教师用书）-2022-2023学年新教材高中数学必修第二册【正禾一本通】同步课堂高效讲义（北师大版2019）

→ 解析： (1)由题意，可得AB → ＝(1，5)，AC → ＝(－3，1)，则AB → ＋AC → ＝(－2，6)，AB － ( AC )→ ＝(4，4)， → ∴|AB → ＋AC |＝2 10 ，| → → ( AB )－AC |＝4 2 ， ∴两条对角线的长为 2 10 和 4 2 . → (2)设点 D 的坐标为(x，y)，由题意知点 D 在边 BC 上，设CD → ＝λCB ， 则(x＋2，y－1)＝λ(4，4)， ∴x＝4λ－2，y＝4λ＋1，即点 D 的坐标为(4λ－2，4λ＋1)， → ∴AD ＝(4λ－3，4λ＋1)， ∵AD⊥BC， → ∴AD → · CB ＝(4λ－3，4λ＋1)·(4，4)＝0， 即(4λ－3)×4＋(4λ＋1)×4＝0， 解得λ＝1 4 ，即点 D 的坐标为(－1，2). §6 平面向量的应用 6．1 余弦定理与正弦定理第 1 课时 余弦定理 [学习目标] 通过对任意三角形的边长和角度关系的探索，借助向量的加、减及数量积运算掌握余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题． 知识点一 余弦定理 公式表达 语言叙述 推论 a2＝b2＋c2－2bccos_A 三角形任何一边的平方 cos A b2＋c2－a2 ＝ 2bc cos B a2＋c2－b2 ＝ 2ac 等于其他两边的平方和 b2＝a2＋c2－2accos_B 减去这两边与它们夹角 c2＝a2＋b2－2abcos_C 余弦的积的两倍 cos C＝a2＋b2－c2 2ab [点拨] (1)余弦定理指出了任意三角形中三条边与其中一角的余弦值之间的一个关系 式，描述了任意三角形中边与角的一种数量关系． (2)在余弦定理中，每一个等式都包含了四个量，因此已知其中的三个量，利用方程思想 可求得第四个量． 角度一 已知三角形两边及其夹角解三角形 在△ABC 中，a＝2 3 ，c＝ 6 ＋ 2 ，B＝45°，解三角形． 解析： 根据余弦定理得 b2＝a2＋c2－2accos B ＝(2 3 )2＋( 6 ＋ 2 )2－2×2 3 ×( 6 ＋ 2 )×cos 45°＝8， 所以 b＝2 2 . 因为 cos A＝b2＋c2－a2 ( ＝ 8 ＋（ 6 ＋ 2 ） 2 －（ 2 3 ） 2 2 × 2 2 × （ 6 ＋ 2 ） )2bc ＝1 ， 2 因为 0<A<π， 所以 A＝60°，C＝180°－(A＋B)＝75°. 学生用书 第 74 页 方法技巧 已知三角形的两边及其夹角解三角形的步骤 (1) 先利用余弦定理求出第三边． (2) 再利用余弦定理求出其他一个角． (3) 最后利用三角形内角和定理求出第三个角． 即时练 1.在△ABC 中，a，b，c 分别为角 A，B，C 的对边，若 C＝60°，a＝5，b＝8， 则△ABC 的周长为( ) A．20 B．30 C．40 D．25 A [根据余弦定理，得 c2＝a2＋b2－2ab cos C＝52＋82－5×8＝49，所以 c＝7，则△ABC 的周长为 20.故选 A.] ( ＝ )即时练 2.在△ABC 中，b＝ 7 ，a＝3，cos C 2 7 ，则 c＝ ． 7 解析： 由余弦定理得，c2＝a2＋b2－2ab cos C＝9＋7－2×3× 7 ×2 7 7 ＝4⇒c＝2. 答案： 2 角度二 已知三边(三边关系)解三角形 (1)在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.若 a＝4，b＝5，c＝ 61 ， 则角 C 等于( ) A．120° B．90° C．60° D．45° (2)△ABC 三边长分别为 AB＝5，AC＝6，BC＝7.求 BC 边上的中线 AD 的长． 解析： (1)由余弦定理，得 cos C＝a2＋b2－c2 2ab ＝42＋52－（ 61）2 2×4×5 ＝－1 2 ，又 0° <C<180°，所以 C＝120°，故选 A. (2)在△ABC 中，由余弦定理得 cos B＝AB2＋BC2－AC2 2AB·BC 52＋72－62 ＝ 2×5×7 ＝19 . 35 在△ABD 中，由余弦定理得 AD2＝AB2＋BD2－2AB×BD×cos B ＝52＋ －2×5×7 ( 7 2 ) ( 2 )2 19 73 ( × )＝ ， 35 4 所以 AD＝ 73 . 2 即 BC 边上的中线 AD 的长为 73 . 2 答案： (1)A 方法技巧 已知三角形的三边解三角形的方法 先利用余弦定理的推论求出一个角的余弦，从而求出第一个角；再利用余弦定理的推论 求出第二个角；最后利用三角形的内角和定理求出第三个角． [注意] 若已知三角形三边的比例关系，常根