第一章 §6 6.3　探究A对y＝A sin (ωx＋φ)的图象的影响（教师用书）-2022-2023学年新教材高中数学必修第二册【正禾一本通】同步课堂高效讲义（北师大版2019）

4kπ＋2π，4kπ＋8π ∴函数 g(x)的递减区间是 3 学生用书 第 33 页 3 (k∈Z). 6.3 探究 A 对 y＝A sin (ωx＋φ)的图象的影响 [学习目标] 1.结合具体实例，了解 y＝A sin (ωx＋φ)的实际意义.2.能借助图象了解参数 A 的意义.3.了解参数 A 对函数图象的影响． 知识点 A 对 y＝A sin (ωx＋φ)的图象的影响 y＝A sin (ωx＋φ)(A>0)的图象是将y＝sin (ωx＋φ)的图象上的每个点的纵坐标伸长(当A>1 时)或缩短(当 0<A<1 时)到原来的 A 倍(横坐标不变)得到的．A 决定了函数 y＝A sin (ωx＋φ) 的值域以及函数的最大值和最小值，通常称 A 为振幅． 角度一 “五点法”作 y＝A sin (ωx＋φ)的图象 1x π ＋ 已知函数 f(x) ＝2sin 2 6 ，x∈R. π 11π (1) 运用五点作图法在所给坐标系内作出 f (x) 在 x∈ － 3 ， 3 (2) 求函数 f (x) 的对称轴，对称中心和单调递增区间． 解析： (1)列表： 内的图象； 1 x π ＋ 2 6 0 π 2 π 3π 2 2π x π － 3 2π 3 5π 3 8π 3 11π 3 1x π ＋ 2sin 2 6 0 2 0 －2 0 描点画图： ( ＋ )(2)由 1 x π 2 6 π ＋kπ(k∈Z) ，得 x＝2π ( ＝ )2 3 ＋2kπ(k∈Z) ， 故函数 f(x) 的对称轴为 x＝2π 3 ＋2kπ(k∈Z) . ( ＋ )由 1 x π 2 6 ＝kπ(k∈Z) ，得 x＝－π 3 ＋2kπ(k∈Z) ， 故函数 f(x) 的对称中心为(－π 3 ＋2kπ，0)(k∈Z). 令 2kπ－π ≤1 2 2 x＋π 6 ≤2kπ＋π 2 ，k∈Z， 解得 4kπ－4 3 π≤x≤4kπ＋2π 3 ，k∈Z. 故函数 f(x) 的单调递增区间为[－4π 3 ＋4kπ，2π 3 ＋4kπ](k∈Z) . 方法技巧 1. 用“五点法”作 y＝A sin (ωx＋φ)的图象，应先令ωx＋φ分别为 0，π 2 ，π，3π 2 ，2π， 然后解出自变量 x 的对应值，作出一个周期内的图象． 2. 求 y＝A sin (ωx＋φ)的单调区间时，首先把 x 的系数化为正值，然后利用整体代换， 把ωx＋φ代入相应不等式中，求出相应的自变量 x 的范围． ( < )即时练 1.小明用“五点法”画函数 f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ| π )在某一个周 2 期内的图象时列表并填入了部分数据，如下表： ωx＋φ 0 π 2 π 2π x π 12 7π 12 y＝A sin (ωx＋φ) 0 2 0 －2 0 请你根据已有信息推算 A，ω，φ的值依次为( ) A．2，2，－π 3 C．2，π，－π 6 ( ＋ φ )ωπ π ＝ ， 12 2 7ωπ 3π B．2，2，π 6 D．2，2，π 3 ω＝2， φ＝π D [由已知得 A＝2， ＋φ＝ 12 2 ， 解得 3 ． 故选 D.] 角度二 三角函数图象的变换 由函数 y＝sin x 的图象经过怎样的变换，可以得到函数 y＝－2sin 2x－ ( π 6 )＋1 的图象． 学生用书 第 34 页 方法技巧 由函数 y＝sin x(x∈R)的图象变换得到函数 y＝A sin (ωx＋φ)(x∈R)的图象有两种方法， 第一种方法是先进行平移变换；第二种方法是先进行伸缩变换．在先进行伸缩变换时，我们 要注意下一步变换平移的长度． 即时练 2.要得到函数 y＝ 2 cos x 的图象，只需将函数 y＝ 2 sin (2x＋π 4 )的图象上所有 的点的( ) A. 横坐标缩短到原来的1 2 B. 横坐标缩短到原来的1 2 (纵坐标不变)，再向左平行移动π 8 (纵坐标不变)，再向右平行移动π 8 个单位长度个单位长度 C. 横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)，再向左平行移动π 4 D. 横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)，再向右平行移动π 4 个单位长度个单位长度 C [y＝ 2 cos x＝ 2 sin (x＋π 2 )，将 y＝ 2 sin (2x＋π 4 )横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐 标不变)，得到 y＝ 2 sin (x＋π 4 )；而将 y＝ 2 sin (2x＋π 4 )横坐标缩短为原来的1 2 (纵坐标不 变)，得到 y＝ 2 sin (4x＋π 4 C 选项：再向左平移π 4 )，AB 选项排除； 个单位长度，得到 y＝