第一章 §4　4.2　单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质（教师用书）-2022-2023学年新教材高中数学必修第二册【正禾一本通】同步课堂高效讲义（北师大版2019）

(1) 若点 B 的横坐标为－4 5 ，求 sin α的值； (2) 若△AOB 为等边三角形，写出与角α终边相同的角β的集合； ( 0 )2π ， (3)若α∈ 3 ，请写出弓形 AB 的面积 S 与α的函数关系式(注：弓形是指在圆中由 弦及其所对的弧组成的图形). 解析： (1)因为角α的终边与单位圆相交于 B，且点 B 的横坐标为－4 5 ，因为 B 在 x 轴 －4，3 上方，所以 B 5 5 . 由三角函数的定义，可得：sin α＝3 . 5 ( π 3 ) ( 3 2 ) ( ， )cos π sin 1， (2)当△AOB 为等边三角形时，因为 B 在 x 轴上方，则 B 3 ， 即 B 2 ， 所以α＝∠AOB＝π 3 ，即与角α终边相同的角β的集合为 β|β π＋2kπ，k∈Z ( ＝ )3 . (3)若α∈(0，2 3 π]， ( ＝ ) ( 则 S ) ( 扇形 )1 αr2＝1 α， 2 2 ( △ )而 S AOB＝1 ×1×1×sin α＝1 sin α， 2 2 故弓形 AB 的面积 S＝S －S AOB＝1 α－1 sin α，α∈(0，2π ]. ( 2 2 ) ( 3 )学生用书 第 13 页 扇形 △ 4.2 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质 [学习目标] 会利用单位圆探究正弦函数、余弦函数的基本性质． 知识点一 正弦函数、余弦函数的基本性质 函数 性质 v＝sin α u＝cos α 定义域 R R 值域 [－1，1] [－1，1] 最值 π 当α＝ 2 ＋2kπ(k∈Z)时，vmax＝1； 当α＝－π ＋2kπ(k∈Z)时，vmin＝ 2 －1 当α＝2kπ(k∈Z)时，umax＝1； 当α＝(2k＋1)π(k∈Z)时，umin＝－1 周期性 是周期函数，最小正周期为 2π 是周期函数，最小正周期为 2π 单调性 在 每 一 个 区 间 π π － ＋2kπ， ＋2kπ 2 2 (k∈Z) 上 都单调递增， 在 每 一 个 区 间π 3π ＋2kπ， ＋2kπ 2 2 (k∈Z) 上 都单调递减 在 每 一 个 区 间[（2k－1）π，2kπ] (k∈Z) 上都单调递增， 在 每 一 个 区 间[2kπ，（2k＋1）π] (k∈Z)上都单调递减 [点拨] (1)正、余弦函数的单调区间的长度都是π，但它们的周期都是 2π，因此单调区间的长度是周期的一半． (2) 正、余弦函数不是定义域上的单调函数． (3) 终边相同的角的正弦函数值、余弦函数值相等，即对任意 k∈Z，sin (α＋2kπ)＝sin α， cos (α＋2kπ)＝cos α，α∈R. 角度一 正弦函数、余弦函数的周期性 A．1 2 C． 3 2 (1)cos 780°＝( ) B． 2 2 D．－ 3 2 (2)化简： sin（2π＋α） sin（－4π＋α） ＋cos（－2π＋α） cos（4π＋α） ＝ ． 解析： (1)cos 780°＝cos(2×360°＋60°)＝cos 60°＝1 2 ，故选 A. (2)原式＝sin α sin α cos α ＋ ＝1＋1＝2. cos α 答案： (1)A (2)2 方法技巧 利用正弦函数、余弦函数的周期性求值的方法 正弦函数、余弦函数的最小正周期都是 2π，从而 2kπ(k∈Z，k≠0)都是它们的周期， 即 sin (2kπ＋α)＝sin α，cos (2kπ＋α)＝cos α，k∈Z.先借助正弦函数、余弦函数的周期性， 把已知角转化为[0，2π)范围内的角，然后求值，熟记特殊角的三角函数值是解题的基础． 即时练 1.sin 25π 6 A．1 2 C. －1 2 25π ＝( ) ( 4 )π π＋ B．－ 3 2 D. 3 2 π 1 A [sin ＝sin 6 6 ＝sin ＝ .故选 A.] 6 2 即时练 2.sin 405°－sin 450°－cos 765°＝ ． 解析： sin 405°－sin 450°－cos 765°＝sin (360°＋45°)－sin (360°＋90°)－cos (720°＋45°) ＝sin 45°－sin 90°－cos 45°＝ 2 2 －1－ 2 2 ＝－1. 答案： －1 角度二 正弦函数、余弦函数的单调性 (1)cos 1，cos 2，cos 3 的大小关系是 ．(用“>”连接) －π，2π (2)求函数v＝cos α在区间 6 3 上的单调性． 解析： (1)因为 0<1<2<3<π，且 y＝cos x 在(0，π) 上单调递减，所以 cos 1>cos 2>cos 3. (2)在单位圆中画出角α在区间