第一章 §5 5.2　余弦函数的图象与性质再认识（教师用书）-2022-2023学年新教材高中数学必修第二册【正禾一本通】同步课堂高效讲义（北师大版2019）

π ，1 (0，－1)， 2 3π ，－3 ，(π，－1)， 2 ，(2π，－1). (3)连线：用光滑曲线将描出的五个点顺次连接起来，得函数 y＝2sin x－1，x∈[0，2π] 的简图，如图所示． 10．已知函数 f(x)＝－sin2x＋sin x＋a，若 1≤f(x)≤17 4 对一切 x∈R 恒成立，求实数 a 的 取值范围． 解析： 令 t＝sin x，t∈[－1，1]，则原函数可化为 g(t)＝－t2＋t＋a＝－ t－1 2 ＋a＋1 . ( 2 )4 当 t＝1 2 时，g(t)max＝a＋1 4 ，即 f(x)max＝a＋1 . 4 当 t＝－1 时，g(t)min＝a－2，即 f(x)min＝a－2. a－2，a＋1 故对于一切 x∈R，函数 f(x)的值域为 4 . a＋1≤17， 所以 4 4 a－2≥1， 解得 3≤a≤4. 5．2 余弦函数的图象与性质再认识 [学习目标] 1.借助单位圆能画出余弦函数的图象.2.了解余弦函数的周期性、单调性、奇 偶性、最大(小)值.3.借助图象理解余弦函数在[0，2π]上的性质． 知识点一 五点(画图)法 π ，0 根据余弦曲线的基本性质，描出(0，1)， 2 3π，0 ，(π，－1)， 2 ，(2π，1)后， 函数 y＝cos x 在区间 x∈[0，2π]的图象就基本确定了(如图).因此，在精确度要求不太高时， 常常先描出这五个关键点，然后用光滑曲线将它们顺次连接起来，就得到余弦函数的简图．这种作余弦曲线的方法也称为“五点(画图)法”． 作出函数 y＝ 3 －2cos x，x∈[0，2π] 的大致图象，并分别写出使 y>0 和 y<0 的 x 的取值范围． 解析： 由五点作图法列表如下： x 0 π 2 π 3π 2 2π cos x 1 0 －1 0 1 y＝ 3 －2cos x 3 －2 3 3 ＋2 3 3 －2 描点：在平面直角坐标系中描出下列五个点：(0， 3 －2)，(π 2 ， 3 )，(π， 3 ＋2)， (3π 2 ， 3 )，(2π， 3 －2). 连线：用光滑曲线将描出的五个点顺次连接起来，就作出了函数大致图象，如图所示： 令 y＝0，即 3 －2cos x＝0，∴cos x＝ 3 ( 11 π 6 )2 ，又 x∈[0，2π] ，∴x＝π 6 11π 或 ， 6 ( π 6 )， 结合图象可知：当 x∈ 时，y>0； 当 x∈ π ( 0 )， 6 ∪( 11π 6 ，2π]时，y<0. 方法技巧 “五点法”画函数图象的三个步骤 即时练 1.从函数 y＝cos x，x∈[0，2π) 的图象来看，当 x∈[0，2π) 时，对于 cos x＝ － 3 2 的 x 有( ) A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个 C [先画出 f(x) ＝cos x，x∈[0，2π) 的图象，即 A 与 D 之间的部分， 再画出 g(x) ＝－ 3 2 的图象，如图： 由图象可知它们有 2 个交点 B、C， 所以当 x∈[0，2π) 时，cos x＝－ 3 2 的 x 的值有 2 个． 故选 C.] 即时练 2.利用余弦曲线，写出满足 cos x>0，x∈[0，2π]的 x 的区间是 ． 解析： 画出 y＝cos x，x∈[0，2π]的图象如图所示． ( π 2 )0， ( π 2 ) ( 3 π 2 )满足 cos x>0 的区间为 ∪ 0 ，2π ( 3 π 2 ). 答案： ， ，2π ∪ 学生用书 第 25 页 知识点二 余弦函数的图象与性质再认识 函数 性质 y＝cos x x∈[0，2π]时的图象 x∈R 时的图象 定义域 R 周期 2π 单调性 在区间[(2k－1)π，2kπ]，k∈Z 上都单调递增，在区间[2kπ， (2k＋1)π]，k∈Z 上都单调递减 最值和值域 当 x＝2kπ，k∈Z 时，ymax＝1； 当 x＝(2k＋1)π，k∈Z 时，ymin＝－1． 值域为[－1，1] 奇偶性 偶函数 对称轴 图象关于直线 x＝kπ，k∈Z 对称 对称中心 π 图象关于点( ＋kπ，0)，k∈Z 对称 2 [点拨] (1)余弦函数 y＝cos x，x∈R 的图象称作余弦曲线． (2)同正弦曲线一样，余弦曲线的对称轴过其最高点或最低点，对称中心是其与 x 轴的交点．注意不要混淆正、余弦曲线的对称轴和对称中心． 角度一 与余弦函数有关的奇偶性问题 (1)函数 y＝x cos x 的部分图象是( ) (2)对于函数 f(x)＝a cos x＋bx2＋c，其中 a，b，c∈R，适当地选取 a，b，c 的一组值计 算 f(1)和