专题04 “一线三垂直”模型及其变形的应用（知识解读）-备战2023年中考数学《重难点解读•专项训练》（全国通用）

学利四 学科网原到，让学司更客易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 专题04“一线三垂直”模型及其变形的应用（知识解读) 【专题说明】 一线三垂直问题，通常问题中有一线段绕某一点旋转90°，或者问题中有矩形 或正方形的情况下考虑，作辅助线，构造全等三角形形或相似三角形，建立数 量关系使问题得到解决。 【方法技巧】 模型1“全等型”一线三垂直模型 如图一，∠D=∠BCA=∠E=90°，BC=AC. 结论：Rt△BDC≌Rt△CEA 图1 应用： (1)通过证明全等实现边角关系的转化，便于解决对应的几何问题； (2)平面直角坐标系中有直角求点的坐标，可以考虑作铺助线构造“三垂直” 作辅助线的程序：过直角顶点再直角外部作水平线或竖直线，过另外两个顶点向上述直线 作垂线段，即可得到“三垂直”模型。如下图所示 模型2“相似型”一线三垂直模型 如图2，∠B=∠C=∠ADE→△ABD∽△DCE(一线三直角) D图2 应用：(1)“相似型”三垂直基本应用 学利四 学科网原创，让学司更名易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 (2)平面直角坐标系中构造“相似型”三垂直。作辅助线方法和模型1一样 (3)平面直角坐标系中运动成直角 【典例分析】 【应用1“全等型”三垂直基本应用】 【典例I】在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,直线MN经过点C,且AD⊥MN于D, BE⊥MN于E. (1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时， 求证：①△ADC≌△CEB; ②DE=AD+BE: (2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，(1)中的结论还成立吗？若成立，请给 出证明：若不成立，说明理由， MD 图1 图 【变式1-1】如图，AC=CE,∠ACE=90°，AB⊥BD,ED⊥BD,AB=6cm,DE=2cm, 则BD等于() A.6cm B.8cm C.10cm D.4cm 【变式1-2】在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,直线1经过点A,过点B、C分别作1 的垂线，垂足分别为点D、E 学利网 学科网原创，让学司更名易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 (1)特例体验：如图①，若直线1∥BC,AB=AC=V√2，分别求出线段BD、CE和DE 的长： (2)规律探究： (I)如图②，若直线1从图①状态开始绕点A旋转((0<a<45°)，请探究线段BD、 CE和DE的数量关系并说明理由： (Ⅱ)如图③，若直线1从图①状态开始绕点A顺时针旋转α(45°<a<90°)，与线 段BC相交于点H,请再探线段BD、CE和DE的数量关系并说明理由； (3)尝试应用：在图③中，延长线段BD交线段AC于点F,若CE=3,DE=1,求S△ BFC· 图① 图② 图③ 【应用2平面直角坐标系中构造“全等型”三垂直】 【典例2】已知：在平面直角坐标系中，A为x轴负半轴上的点，B为y轴负半轴上的点， (1)如图1，以A点为顶点、AB为腰在第三象限作等腰Rt△ABC,若OA=2,OB=4, 求C点的坐标： (2)如图2，若点A的坐标为(-2√3,0)，点B的坐标为(0，-m),点D的纵坐 标为n,以B为顶点，BA为腰作等腰Rt△ABD.当B点沿y轴负半轴向下运动且其他条 件都不变时，整式4+4n-9V3的值是否发生变化？若不发生变化，请求出其值；若发 生变化，请说明理由： (3)如图3，若OA=OB,OF⊥AB于点F,以OB为边作等边△OBM,连接AM交OF 于点N,若AN=m,OW=n,请直接写出线段AM的长. B 图1 图2 图3 学利四 学科网原创，让学司更名易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 【变式21】如图所示，在平面直角坐标系中，等腰R△4BC的直角顶点C在x轴上，点A 在y轴上，若点B坐标为(6,1)，则点A坐标为() Ay B A.(4,0) B.(5,0) C.(0,4) D.(0,5) 【变式2-2】如图，在△PMW中，PM=PN,PMLPN,P(0,2),N(2,-2),则M的 坐标是() y M A.(-2y2,0)B.(-23,0)C.(-2N5,0)D.(-4,0) 【应用3“相似型”三垂直基本应用】 【典例3】已知矩形ABCD的一条边AD=8,将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上 的P点处，如图，已知折痕与边BC交于点O,连接AP、OP、OA. (1)求证： OCOP PD AP (2)若OP与PA的比为1：2，求边AB的长. 学利四 学科网原创，让学司更名易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 【变式3】如图，在矩形ABCD中，E,F,G分别在AB,BC,CD上，DE⊥EF,EF⊥FG, BE=3,BF=2,FC=6,则DG的长是() A F A.4 B.