第四章·投影与视图·期中复习·培优讲义 ·2026-2027学年北师大版九年级数学上册

第四章·投影与视图·期中复习·培优讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年北师大版九年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解平行投影、中心投影与正投影的概念及区别 · 会判断简单几何体与组合体的三视图 · 能由三视图还原几何体，会画小立方块堆砌图形的三视图 · 能根据三视图求表面积、体积与小立方块个数 · 会运用投影与相似知识解决测量等实际应用问题 📚 知识梳理 ☆ 1.投影的概念 平行投影：由平行光线形成的投影，如太阳光照射下的影子 中心投影：由同一点（点光源）发出的光线形成的投影 正投影：投影线垂直于投影面产生的投影 投影与影子的关系：物体在投影面上的投影随投影方向变化而改变 概念辨析例题：阳光下旗杆在地面上的影子属于哪种投影？灯光下人的影子属于哪种投影？ 答案：太阳光为平行光，属平行投影；灯光为点光源，属中心投影 解析：太阳光可看作平行光线，形成平行投影；灯光从一点发出，形成中心投影。 ☆ 2.三视图 主视图：从正面看几何体所得的视图 左视图：从左面看几何体所得的视图 俯视图：从上面看几何体所得的视图 三视图规律：长对正、高平齐、宽相等 概念辨析例题：圆锥的主视图、左视图、俯视图分别是什么形状？ 答案：主视图、左视图都是等腰三角形，俯视图是圆（含圆心） 解析：圆锥从正面和左面看都是等腰三角形，从上面看是圆，圆心为顶点正投影。 ☆ 3.由三视图还原几何体 由三视图确定几何体：综合主视图、左视图、俯视图判断形状 小立方块堆砌图形：俯视图确定底层分布，主视图、左视图确定高度 求小立方块个数：最少个数与最多个数结合三视图判断 由三视图可求几何体的表面积、侧面积与体积 概念辨析例题：某几何体的三视图都是圆，该几何体是什么？ 答案：球 解析：球的三视图都是圆；圆柱的三视图中俯视图是圆，主视图、左视图是矩形。 ☆ 4.投影的实际应用 利用相似三角形：同一时刻物高与影长成比例（平行投影） 中心投影中物体与光源距离变化引起影长变化 测量高度常用方法：同一时刻相等 坡度坡比与投影结合的问题注意构建直角三角形 概念辨析例题：同一时刻，1米长的标杆影长0.5米，旁边旗杆影长4米，求旗杆高度 答案：旗杆高8米 解析：同一时刻物高与影长成正比，=，解得旗杆高8米。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 平行投影 平行光线形成的投影 太阳光可看作平行光 中心投影 点光源发出的光线形成的投影 灯光、手电筒属于中心投影 正投影 投影线垂直于投影面的投影 投影方向与投影面垂直 三视图 主视图、左视图、俯视图 长对正、高平齐、宽相等 小立方块个数 俯视图定底，主左视图定高 区分最少与最多 实际应用 成比例 同一时刻、同一光源下 ⚠️ 核心考点 【考点1】三视图的识别与判断（第1-11题） · 从正面、左面、上面三个方向观察几何体 · 组合体三视图注意遮挡关系与轮廓线 · 旋转得到的立体图形先想象其形状再画三视图 1．（2024·山东滨州·二模）某几何体如图所示，它的俯视图是（   ）    A．   B．   C．   D．   2．（23-24九年级上·河南平顶山·期中）如图是一个由4个相同的小正方形组成的立体图形，它的左视图是（    ） A． B． C． D． 3．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图①是某粮仓的实物图，图②是其抽离出来的几何体，关于它的三种视图，下列说法正确的是（     ） A．主视图与左视图相同 B．左视图与俯视图相同 C．主视图与俯视图相同 D．三种视图完全相同 4．（2025·河南·一模）白釉绿彩长颈瓶现藏于河南博物院，是国宝级文物，开创了中国陶瓷釉彩装饰的先河．如图，关于它的三视图，下列说法正确的是（   ） A．主视图和俯视图相同 B．主视图和左视图相同 C．左视图和俯视图相同 D．三种视图均不相同 5．（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，该几何体的左视图是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）我国古代数学著作《九章算术》中，将底面是矩形，且有1条棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”．将一个“阳马”按如图所示方式摆放，它的俯视图是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25九年级上·宁夏固原·期末）科技改变生活，智慧点亮世界．下列图1是一个多功能遥控学习护眼灯，图2是台灯的灯罩部分，其俯视图是（   ） A． B． C． D． 8．（25-26九年级上·四川成都·期末）如图，在中，、，将以直线为轴旋转一周得到的立体图形的主视图是（    ） A． B． C． D． 9．（2026·河北石家庄·二模）图1是纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵式现场，东风液体洲际战略核导弹首次亮相，其打击范围可覆盖全球．图2是东风导弹的部分示意图，关于其三视图，下列说法正确的是（     ） A．主视图与左视图相同 B．主视图与俯视图相同 C．左视图与俯视图相同 D．三种视图都不相同 10．（2024·河北沧州·三模）如图，上下底面为全等的正六边形礼盒，其主视图与左视图均由矩形构成，主视图中大矩形边长如图所示，左视图中包含两个全等的矩形，如果用彩色胶带如图包扎礼盒，所需胶带长度约为（    ）．（参考数据：） A． B． C． D． 11．（2026·四川成都·模拟预测）如图，是三星堆目前出土的最完整青铜瓿（bù），关于它的三视图，下列说法正确的是（     ） A．主视图与俯视图相同 B．主视图与左视图相同 C．俯视图与左视图相同 D．三个视图都不相同 【考点2】由三视图还原几何体与三视图画法（第12-20题） · 由三视图还原：主视图看左右与高度，俯视图看左右与前后，左视图看前后与高度 · 画小立方块三视图逐层画出可见面 · 先画俯视图确定底层分布再补主视图与左视图 12．（2024·湖南岳阳·模拟预测）如图所示，该几何体的俯视图是（   ） A． B． C． D． 13．（2026·黑龙江绥化·模拟预测）如图是某几何体的主视图，则该几何体是（     ） A． B． C． D． 14．（25-26九年级上·山东青岛·期末）如图是某几何体的三视图，其俯视图由两个正方形组成，则该几何体的体积为_____． 15．（24-25七年级上·广东深圳·期中）如图是由几个小立方块所搭成几何体的从上面看到的形状图，�小正方形中的数字表示在该位置小立方块的个数，请画出这个几何体的主视图和左视图． 16．（23-24七年级上·吉林长春·期中）如图是由一些大小相同的小正方体组合成的简单几何体，请在方格纸中分别截出它的主视图、左视图和俯视图． 17．（24-25九年级上·山东淄博·期末）如图，是由12个同样大小的正方体搭成的几何体的俯视图，其中小正方形中的数字表示在该位置的正方体的个数．请画出这个几何体的主视图和左视图． 18．（2025九年级·全国·专题练习）某仓库里堆放着若干个相同的正方体货箱，这堆货箱的三视图如下图所示．若每个货箱里都装有10个篮球，求这堆货箱中所装的篮球总个数． 19．（23-24七年级上·广东佛山·阶段检测）某学校设计了如图所示的雕塑，取名“阶梯”，现在工厂师傅打算用油漆喷刷所有暴露面，经测量，已知每个小立方体的棱长为．    (1)请分别画出该雕塑的俯视图和左视图；（画出的图需涂上阴影） (2)请你帮助工人师傅计算一下，需要喷刷油漆的总面积是多少． 20．（25-26九年级上·河南平顶山·期末）我们知道当一束平行光线垂直照在不透明的物体上时，会形成这个物体在某个方向的正投影，这个物体在投影面上形成的平面图形称为“视图”．请画出这个几何体的主视图、左视图、俯视图． 【考点3】三视图中的计算（第21-29题） · 侧面积与表面积：根据三视图还原几何体后用公式计算 · 小立方块个数：俯视图定底、主视图左视图定高，数最少与最多 · 体积计算：先还原几何体再套用体积公式 21．（2025九年级·全国·专题练习）用若干个大小相同的小正方体搭成一个几何体，主视图和俯视图如图所示，组成这个几何体的小正方体最少有a个，最多有b个，则以a，b为两边长的直角三角形的最小锐角α的正切值是（    ） A． B． C．或 D．或 22．（25-26九年级上·江苏南通·阶段检测）如图所示是某几何体的三视图，根据图中数据计算，这个几何体的侧面积为________； 23．（25-26九年级上·山东济宁·期末）某立体图形的三视图如图所示，则这个立体图形的侧面展开图的面积是__________（结果保留π） 24．（24-25九年级下·辽宁铁岭·阶段检测）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积是________． 25．（23-24七年级上·广东梅州·期中）用小立方块搭一个几何体，它的从正面和上面看到的如下图所示，则它最少需____个立方块，最多需____个立方块．    26．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图①是一个直四棱柱，图②是它的三种视图，其中俯视图为一个等腰梯形，根据图中的数据，计算这个直四棱柱的表面积为__________． 27．（23-24七年级上·重庆·阶段检测）如图，它是由几个棱长为1厘米的小正方体组成的几何体，从上面看到的该几何体的形状图，小正方形上的数字表示该位置上的小正方的个数．      (1)请你画出从正面和从左面看到的这个几何体的形状图； (2)求这个几何体的表面积（含底面）． 28．（23-24九年级上·陕西宝鸡·期中）用大小相同的小立方块搭成一个几何体，使得它从正面、上面看到的形状图如图，这样的几何体是否唯一？它最多需要多少个小立方块？最少需要多少个小立方块？ 29．（23-24七年级上·广东梅州·期中）下列几何体是由五个棱长为的小正方体组成的．    (1)该几何体的体积是_______，表面积是________； (2)分别画出该几何体从正面、左面、上面看到的形状图． 【考点4】平行投影与正投影（第30-40题） · 平行投影下影子方向一致，物高与影长成比例 · 正投影形状由投影方向决定，注意垂直投影 · 坡度坡比与投影结合构建直角三角形求解 30．（25-26九年级上·四川成都·阶段检测）下列说法正确的是（   ） A．任意两个菱形都相似 B．对角线相等的四边形是矩形 C．在菱形中，若对角线，，则菱形的面积是 D．甲、乙两人在太阳光下的水平道路上行走，同一时刻他们的身高与其影长的比相等 31．（23-24九年级上·河北石家庄·期中）某一时刻，与地面垂直的长的木杆在地面上的影长为．同一时刻，树的影子一部分落在地面上，一部分落在坡角为的斜坡上，如图所示．已知落在地面上的影长为．落在斜坡上的影长为．根据以上条件，可求出树高为（    ）．（结果精确到）    A． B． C． D． 32．（23-24九年级上·河北石家庄·期中）古希腊数学家泰勒斯曾利用立杆测影的方法，在金字塔塔顶的影子处直立一根木杆，借助太阳光测金字塔的高度．如图所示，木杆长米．它的影长是米，同一时刻测得是米，则金字塔的高度是_________米． 33．（23-24九年级上·陕西渭南·期末）如图，某地同一时刻两根木杆的影子是由______形成的投影．（填“太阳光”或“灯光”）    34．（2025九年级·全国·专题练习）一块矩形纸板（不考虑厚度），其正投影可能是①矩形、②平行四边形、③线段、④三角形、⑤任意四边形、⑥点中的______________（填序号）． 35．（2024·云南·模拟预测）小明和小华利用阳光下的影子来测量一建筑物顶部旗杆的高．如图所示，在某一时刻，他们在阳光下，分别测得该建筑物的影长为米，的影长为米，小明的影长为米，其中、、、、五点在同一直线上，、、三点在同一直线上，且，．已知小明的身高为米，则旗杆的高为_____米． 36．（25-26九年级上·江苏徐州·期末）如图，小明在时测得某树的影长为6米，时又测得该树的影长为2米，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为___________米． 37．（2025·广东肇庆·三模）如图所示，某时刻树梢顶点A的影子刚好落在台阶点G处．若测得台阶，且，此时台阶在地面的影子，树的底部到台阶的距离，则树高AB为__________． 38．（2024·广东·二模）阳光下，电线杆落在一段斜坡和水平地面上的影子分别是和，小亮量得，斜坡的坡度为，小亮的身高，此时他在水平地面上的影子长为，求电线杆的长度（结果保留根号）． 39．（24-25九年级上·四川成都·期末）如图，某小区文化墙前面有两根高度不一的圆柱形立柱，立柱与文化墙均垂直于地面，且两立柱与墙的距离均为米．小明观察到高为米的矮立柱的影子完全落在地面上，其影长为米；而高立柱的部分影子落在墙上．假设落在地面上的影子均与墙面互相垂直，在不计立柱粗细与影子宽度的情况下，请回答下列问题： (1)小明的身高为米，此刻他的影子完全落在地面上，则小明的影长为多少米？ (2)此刻测得高立柱落在墙上的影长为米，求高立柱的高度． 40．（2025九年级·全国·专题练习）如图，人行道旁有两个高度相等的路灯，．小明上午上学时发现路灯在太阳光下的影子顶端恰好落在处，他自己影子的顶端恰好落在路灯的底部处；晚自习放学时，小明站在与上午相同的地方，发现在路灯的灯光下自己影子的顶端恰好落在处． (1)在图中画出小明站的位置（用线段表示，保留画图痕迹，不写画法）． (2)已知小明身高为，若上午上学时，高的木棒的影子为，小明距离处恰好，求路灯的高． 【考点5】中心投影与实际应用（第41-52题） · 中心投影中光源位置决定影子方向与长短 · 利用相似三角形建立比例关系求高度或影长 · 点光源下的影子问题注意光源、物体顶点与影子端点共线 41．（25-26九年级上·辽宁阜新·期末）小明家的客厅有一张直径为，高的圆桌，在距地面的A处有一盏灯，圆桌的影子为．如图，根据题意，以为1个单位长度建立平面直角坐标系，其中点的坐标为，则点的坐标是_______． 42．（25-26九年级上·山东东营·阶段检测）已知小丽的身高为，在同一时刻测得小丽和建筑物的投影长分别为和，建筑物的高是________． 43．（2026·安徽阜阳·一模）一盏灯的光，落在《几何原本》的书页上，书在灯光下投下一片轮廓清晰的影子，这属于________投影．（填“平行”或“中心”） 44．（24-25九年级上·山东淄博·期末）下列各种现象：①阳光下沙滩上人的影子；②晚上人走在路灯下的影子；③中午用来乘凉的树影；④阳光下旗杆的影子．其中属于中心投影的是_____（填序号） 45．（25-26九年级上·陕西榆林·期末）孙敬是成语悬梁刺股中典故人物之一，孙敬“悬梁”在灯下读书的影子是_____投影．（填“中心”或“平行”） 46．（2024·广东茂名·二模）如图，如图，安装路灯的路面比种植树木的地面高，在路灯的照射下，路基留在地面上的影长为，通过测量知道的距离为，则路灯的高度是______m． 47．（25-26九年级上·河北邯郸·阶段检测）如图是三角尺在灯泡O的照射下在墙上形成的影子，现测得，，这个三角尺的面积与它在墙上形成的影子的面积的比是________． 48．（25-26八年级下·重庆·期末）如图，马路上有两根垂直于地面的路灯和，其中，，身高为的小凯在两根路灯之间的地面上走动，当小凯走到点处时，在路灯、的光线照射下他的影子顶端恰好分别落在地面上的点和点，（其中，，，，五点在同一直线上），则的长为________m． 49．（24-25九年级上·四川成都·阶段检测）小明想利用太阳光测量楼高．他带着皮尺来到一栋楼下，发现对面墙上有这栋楼的影子，针对这种情况，他设计了一种测量方案，具体测量情况如下：如图所示，小明边移动边观察，发现站到点处时，可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠，且高度恰好相同．此时，测得小明落在墙上的影子高度，已知小明的身高为2，，（点，，在同一直线上），请你帮小明求出楼高． 50．（25-26九年级下·广东江门·期中）综合与实践 主题：利用投影生成轴对称图形． 素材：一根5米长的木棍倾斜固定在半空，点A离地面高度为4米，点A，B之间的水平宽度为4米．如图（1），白天的某一时刻，阳光下（图中虚线为太阳光线）木棍在地面上投影为．如图（2），点B的正上方有一路灯P，夜晚在路灯P的照射下木棍在地面上的投影为． 【问题解决】 (1)如图（1），测得米，为验证木棍，投影线，投影线，影长组成的四边形是轴对称图形，请你帮助证明：． (2)如图（2），发现木棍，投影线，投影线，影长组成的四边形也是轴对称图形，请求出路灯P距地面的高度． 51．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段检测）综合实践活动课是数学新课标的新增内容．学习了相似三角形后，老师让同学们测量校园某一灯柱（是灯源处，灯杆忽略不计）的高度．一个学习小组成员准备了两根高米的竹竿，，并和灯柱插在同一条直线上，且两竹竿，相距米，如图所示． (1)请画出两竹竿在灯光下的影长； (2)经测量，竹竿的影长为米，竹竿的影长是米，求灯柱的高． 52．（25-26九年级上·山东淄博·期末）如图，在平面直角坐标系中，点光源位于处，木杆平行于轴，木杆两端的坐标分别为． (1)画出木杆在轴上的投影； (2)求出其投影的长． 💯 课后巩固 复习建议 · 分清平行投影与中心投影，看光源类型 · 三视图牢记长对正、高平齐、宽相等 · 还原几何体从俯视图入手确定底层分布 · 求面积体积先还原几何体再套公式 · 投影实际应用构造相似三角形列比例 【作业1】．（24-25九年级下·吉林松原·阶段检测）由7个大小相同的小正方体搭成的几何体如图所示，它的左视图是（    ） A． B． C． D． 【作业2】．（2026·江苏扬州·中考真题）一个几何体的主视图是等腰三角形，这个几何体可能是（     ） A．长方体 B．圆柱 C．圆锥 D．球 【作业3】．（2025·青海西宁·二模）如图是一个几何体的三视图，根据图纸标注的数据，求得这个几何体的侧面积是（    ）    A． B． C． D． 【作业4】．（2025·辽宁·模拟预测）下列关于物体投影与视图的说法不正确的是（   ） A．生活中，由灯泡发出的光线形成的投影叫做正投影 B．正三棱柱（如图）的俯视图为等边三角形 C．日晷是我国古时重要的计时用具，其原理为平行投影 D．三视图在历史上有非常重大的应用，蒙日的《画法几何》与埃及金字塔均用到了视图原理 【作业5】．（24-25九年级上·河北张家口·期中）如图，一块面积为的三角形硬纸板（记为）平行于投影面时，在点光源的照射下形成的投影是，若，则的面积是（   ） A． B． C． D． 【作业6】．（25-26九年级上·河南濮阳·期末）如图，该几何体由大小相同的小正方体拼接而成．若移走一块小正方体后，几何体的主视图保持不变，那么移走的小正方体是_____．（填写所标的序号） 【作业7】．（24-25七年级上·四川成都·期末）一个几何体由几个大小相同的小立方块搭成，从左面和从正面看到的这个几何体的形状图如图所示，则搭成这个几何体的小立方块有_____个． 【作业8】．（2024·湖南衡阳·模拟预测）在一个仓库里堆积着正方体的货箱若干，要搬运这些箱子很困难，可是仓库管理员要落实一下箱子的数量，于是就想出一个办法；将这堆货物的三种视图画了出来，如图所示，现要取走一些货箱，但要求剩余货箱的主视图不变，最多可以取走______个货箱． 【作业9】．（25-26九年级上·四川绵阳·阶段检测）学校花园的栅栏在阳光下的影子属于______投影．（填“平行”或“中心”） 【作业10】．（25-26九年级下·全国·课前预习）如图，身高的某学生沿着树影由B向A走去，当走到点C时，他的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得，则树的高度为______． 【作业11】．（2025九年级·全国·专题练习）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_______． 【作业12】．（23-24七年级上·山西太原·阶段检测）如图是某几何体的三视图及相关数据，则该几何体的侧面积为 ________． 【作业13】．（24-25九年级下·全国·单元测试）如图①、图②所示，这两个图形的正投影分别是______． 【作业14】．（23-24六年级上·山东烟台·期中）如图是由个大小相同的小正方体搭成的几何体．    (1)在保持从正面看和左面看到的几何体的形状图都不变的情况下，最多可以拿掉__________个小正方体，最多可以加上__________个小正方体； (2)请在下面方格纸中分别画出这个几何体从正面看、从左面看、从上面看的形状图． 【作业15】．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图是几何体得到的三视图． (1)说出这个几何体的名称； (2)画出它的一种表面展开图； (3)求这个几何体的表面积和体积． 【作业16】．（25-26九年级上·陕西西安·期中）数学实践活动课上，小辰所在的小组利用所学的知识测量当地一座古塔的高度（）．测量方法如下：在古塔（）的前方点D处直立一根长的竹竿，然后测得在阳光照射下古塔在地面上的影长，竹竿在地面上的影长 ．已知图上所有点均在同一平面内，均垂直于地面．根据以上测量方法，求出该古塔的高度（．（保留整数） 【作业17】．（26-27九年级下·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，点是一个点光源．木杆两端的坐标分别为，．求出木杆在轴上的投影的长． 【作业18】．（25-26七年级上·重庆·期中）如图的几何体是由若干个大小相同且棱长为的小立方块搭成． (1)请在方框中画出从正面和从左面看到的这个几何体的形状图； (2)该几何体的表面积（包括底面）是 ． 试卷第1页（共3页） 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章·投影与视图·期中复习·培优讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年北师大版九年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解平行投影、中心投影与正投影的概念及区别 · 会判断简单几何体与组合体的三视图 · 能由三视图还原几何体，会画小立方块堆砌图形的三视图 · 能根据三视图求表面积、体积与小立方块个数 · 会运用投影与相似知识解决测量等实际应用问题 📚 知识梳理 ☆ 1.投影的概念 平行投影：由平行光线形成的投影，如太阳光照射下的影子 中心投影：由同一点（点光源）发出的光线形成的投影 正投影：投影线垂直于投影面产生的投影 投影与影子的关系：物体在投影面上的投影随投影方向变化而改变 概念辨析例题：阳光下旗杆在地面上的影子属于哪种投影？灯光下人的影子属于哪种投影？ 答案：太阳光为平行光，属平行投影；灯光为点光源，属中心投影 解析：太阳光可看作平行光线，形成平行投影；灯光从一点发出，形成中心投影。 ☆ 2.三视图 主视图：从正面看几何体所得的视图 左视图：从左面看几何体所得的视图 俯视图：从上面看几何体所得的视图 三视图规律：长对正、高平齐、宽相等 概念辨析例题：圆锥的主视图、左视图、俯视图分别是什么形状？ 答案：主视图、左视图都是等腰三角形，俯视图是圆（含圆心） 解析：圆锥从正面和左面看都是等腰三角形，从上面看是圆，圆心为顶点正投影。 ☆ 3.由三视图还原几何体 由三视图确定几何体：综合主视图、左视图、俯视图判断形状 小立方块堆砌图形：俯视图确定底层分布，主视图、左视图确定高度 求小立方块个数：最少个数与最多个数结合三视图判断 由三视图可求几何体的表面积、侧面积与体积 概念辨析例题：某几何体的三视图都是圆，该几何体是什么？ 答案：球 解析：球的三视图都是圆；圆柱的三视图中俯视图是圆，主视图、左视图是矩形。 ☆ 4.投影的实际应用 利用相似三角形：同一时刻物高与影长成比例（平行投影） 中心投影中物体与光源距离变化引起影长变化 测量高度常用方法：同一时刻相等 坡度坡比与投影结合的问题注意构建直角三角形 概念辨析例题：同一时刻，1米长的标杆影长0.5米，旁边旗杆影长4米，求旗杆高度 答案：旗杆高8米 解析：同一时刻物高与影长成正比，=，解得旗杆高8米。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 平行投影 平行光线形成的投影 太阳光可看作平行光 中心投影 点光源发出的光线形成的投影 灯光、手电筒属于中心投影 正投影 投影线垂直于投影面的投影 投影方向与投影面垂直 三视图 主视图、左视图、俯视图 长对正、高平齐、宽相等 小立方块个数 俯视图定底，主左视图定高 区分最少与最多 实际应用 成比例 同一时刻、同一光源下 ⚠️ 核心考点 【考点1】三视图的识别与判断（第1-11题） · 从正面、左面、上面三个方向观察几何体 · 组合体三视图注意遮挡关系与轮廓线 · 旋转得到的立体图形先想象其形状再画三视图 1．（2024·山东滨州·二模）某几何体如图所示，它的俯视图是（   ）    A．   B．   C．   D．   【答案】D 【知识点】判断简单几何体的三视图 【分析】本题考查了简单几何体的三视图，根据从上面看得到的图形是俯视图，即可得答案． 【详解】解：从上面看，是一个上宽下窄的梯形． 故选：D． 2．（23-24九年级上·河南平顶山·期中）如图是一个由4个相同的小正方形组成的立体图形，它的左视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断简单组合体的三视图 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案． 【详解】解：从左边看第一层是两个小正方形，第二层左边一个小正方形， 故选：D． 3．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图①是某粮仓的实物图，图②是其抽离出来的几何体，关于它的三种视图，下列说法正确的是（     ） A．主视图与左视图相同 B．左视图与俯视图相同 C．主视图与俯视图相同 D．三种视图完全相同 【答案】A 【知识点】判断简单组合体的三视图 【分析】几何体的三视图，是根据从正面、左面和上面看到的图形，据此即可判断求解． 【详解】解：这个几何体的俯视图是一个带圆心的圆，而主视图与左视图相同，底层是一个矩形，上层是一个等腰三角形，故选项A符合题意． 4．（2025·河南·一模）白釉绿彩长颈瓶现藏于河南博物院，是国宝级文物，开创了中国陶瓷釉彩装饰的先河．如图，关于它的三视图，下列说法正确的是（   ） A．主视图和俯视图相同 B．主视图和左视图相同 C．左视图和俯视图相同 D．三种视图均不相同 【答案】B 【知识点】判断简单几何体的三视图 【分析】本题主要考查三视图，熟练掌握三视图是解题的关键；因此此题可根据图形得到其三视图，进而问题可求解． 【详解】解：由图可知：该文物的主视图和左视图相同，故B选项符合题意； 故选B． 5．（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，该几何体的左视图是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断简单几何体的三视图 【分析】本题考查了学生的思考能力和对几何体三种视图的空间想象能力，该几何体的左视图是根据从左边看到的图形求解即可． 【详解】解∶从左边看该几何体的左视图是是一个长方形，且中间有条看不见的线， 如右图：， 故选：B 6．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）我国古代数学著作《九章算术》中，将底面是矩形，且有1条棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”．将一个“阳马”按如图所示方式摆放，它的俯视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】矩形性质理解、判断简单几何体的三视图 【详解】 解：由题干图可知，它的俯视图是 7．（24-25九年级上·宁夏固原·期末）科技改变生活，智慧点亮世界．下列图1是一个多功能遥控学习护眼灯，图2是台灯的灯罩部分，其俯视图是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断简单几何体的三视图 【分析】本题考查了三视图，熟练运用空间想象能力是解题的关键． 根据此灯罩的俯视图特点即可求解． 【详解】解：俯视图是个同心圆，看得见的轮廓线都画成实线，看不见的画成虚线，根据题意两个圆的轮廓都能看见，所以是两个实线的同心圆． 故选：B ． 8．（25-26九年级上·四川成都·期末）如图，在中，、，将以直线为轴旋转一周得到的立体图形的主视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】等边三角形的判定、平面图形旋转后所得的立体图形、含30度角的直角三角形、判断简单几何体的三视图 【分析】本题考查了点、线、面、体以及简单几何体的三视图、含30度角的直角三角形的性质等知识，正确求出旋转得到的立体图形是圆锥是解题关键．根据题意可知得到的立体图形是圆锥，再根据圆锥的主视图是等腰三角形、以及等边三角形的判定求解即可得． 【详解】解：∵在中，、， ∴， ∴， ∴将以直线为轴旋转一周得到的立体图形是一个圆锥，这个圆锥的母线为，圆锥的底面是直径为的圆， ∴这个圆锥的主视图是等边三角形． 故选：D． 9．（2026·河北石家庄·二模）图1是纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵式现场，东风液体洲际战略核导弹首次亮相，其打击范围可覆盖全球．图2是东风导弹的部分示意图，关于其三视图，下列说法正确的是（     ） A．主视图与左视图相同 B．主视图与俯视图相同 C．左视图与俯视图相同 D．三种视图都不相同 【答案】B 【知识点】判断简单几何体的三视图 【分析】根据简单组合体三视图的画法画出它的三视图即可判断． 【详解】解：东风洲际导弹的三视图为： 所以主视图与俯视图相同，左视图与俯视图和主视图不相同． 10．（2024·河北沧州·三模）如图，上下底面为全等的正六边形礼盒，其主视图与左视图均由矩形构成，主视图中大矩形边长如图所示，左视图中包含两个全等的矩形，如果用彩色胶带如图包扎礼盒，所需胶带长度约为（    ）．（参考数据：） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】等边三角形的判定和性质、正多边形和圆的综合、判断简单组合体的三视图、解直角三角形的相关计算 【分析】根据正六边形的性质以及等边三角形的判定与性质得到，然后解，即可求，即可求解． 【详解】解：根据题意，作出实际图形的上底， 连接对角线，交于点G，交于点O，由题意得，    ∵六边形是正六边形， ∴，，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 由正六边形是轴对称图形得， ∴， ∴， ∴胶带的长至少． 故选：A． 【点睛】本题考查了正六边形的性质、立体图形的三视图和学生的空间想象能力，等边三角形的判定与性质，解直角三角形，熟练掌握知识点是解题的关键． 11．（2026·四川成都·模拟预测）如图，是三星堆目前出土的最完整青铜瓿（bù），关于它的三视图，下列说法正确的是（     ） A．主视图与俯视图相同 B．主视图与左视图相同 C．俯视图与左视图相同 D．三个视图都不相同 【答案】B 【知识点】判断简单几何体的三视图 【分析】根据主视图、左视图和俯视图的定义，并结合图形分析即可得出结果． 【详解】解：由图形可得，该图形的主视图与左视图相同，俯视图与主视图和左视图不同． 【考点2】由三视图还原几何体与三视图画法（第12-20题） · 由三视图还原：主视图看左右与高度，俯视图看左右与前后，左视图看前后与高度 · 画小立方块三视图逐层画出可见面 · 先画俯视图确定底层分布再补主视图与左视图 12．（2024·湖南岳阳·模拟预测）如图所示，该几何体的俯视图是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】画小立方块堆砌图形的三视图 【分析】此题考查简单几何体的三视图，明确三视图的画法是解题的关键． 根据俯视图的画法即可得到答案． 【详解】解：从上面看是四个正方形，符合题意的是C． 故选：C． 13．（2026·黑龙江绥化·模拟预测）如图是某几何体的主视图，则该几何体是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由三视图还原几何体 【分析】该几何体的主视图为三角形和长方形组成，易判断该几何体是由圆锥和圆柱组成． 【详解】解：由该几何体的主视图可知，该几何体是 ． 14．（25-26九年级上·山东青岛·期末）如图是某几何体的三视图，其俯视图由两个正方形组成，则该几何体的体积为_____． 【答案】162 【知识点】由三视图还原几何体、已知三视图求体积 【分析】本题主要考查三视图还原几何体，根据几何体的三视图，得出该几何体是一个正方体里面挖了一个长方体，再根据图中数据求出它的体积即可． 【详解】由三视图可知，该几何体是一个正方体里面挖了一个长方体，如图： 则该几何体的体积为：． 故答案为：． 15．（24-25七年级上·广东深圳·期中）如图是由几个小立方块所搭成几何体的从上面看到的形状图，�小正方形中的数字表示在该位置小立方块的个数，请画出这个几何体的主视图和左视图． 【答案】 如图所示，即为所求； 【知识点】画小立方块堆砌图形的三视图 【分析】本题主要考查了画小立方体堆砌的几何体的三视图；主视图是从物体的正面看到的图形，左视图是从物体的左面看到的图形，据此作图即可． 【详解】略 16．（23-24七年级上·吉林长春·期中）如图是由一些大小相同的小正方体组合成的简单几何体，请在方格纸中分别截出它的主视图、左视图和俯视图． 【答案】 解：主视图如图所示： ； 左视图如图所示： ； 俯视图如图所示： 【知识点】画小立方块堆砌图形的三视图 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，按照三视图的画法，分别从正面、左面、上面看得到图形，发挥空间想象能力是解题的关键． 【详解】解：主视图：是从正面来看，可得到下面一层是三个小正方体，上面一层有两个小正方体且靠左； 左视图：是从从侧往右看，下面一层有两个小正方体，最上面一层只有一个小正方体，且靠左； 俯视图：是从上往下看，上面一层是三个小正方体，下面一层只有一个小正方体，并且在中间位置 17．（24-25九年级上·山东淄博·期末）如图，是由12个同样大小的正方体搭成的几何体的俯视图，其中小正方形中的数字表示在该位置的正方体的个数．请画出这个几何体的主视图和左视图． 【答案】 解：主视图： ；左视图： ． 【知识点】画小立方块堆砌图形的三视图 【分析】本题主要考查了画三视图，理解三视图的定义是解题的关键． 根据主视图、左视图的定义画出图形即可． 【详解】略 18．（2025九年级·全国·专题练习）某仓库里堆放着若干个相同的正方体货箱，这堆货箱的三视图如下图所示．若每个货箱里都装有10个篮球，求这堆货箱中所装的篮球总个数． 【答案】 【知识点】由三视图，判断小立方体的个数 【分析】本题考查了由三视图，判断小正方体的个数，掌握三视图的画法是解题的关键． 根据三视图还原几何体即可． 【详解】解：由主视图、左视图和俯视图可知，正方体货箱的分布情况如图（每个正方形上的数字表示该位置上正方体货箱的个数）． 故这堆正方体货箱中所装的篮球总个数为． 19．（23-24七年级上·广东佛山·阶段检测）某学校设计了如图所示的雕塑，取名“阶梯”，现在工厂师傅打算用油漆喷刷所有暴露面，经测量，已知每个小立方体的棱长为．    (1)请分别画出该雕塑的俯视图和左视图；（画出的图需涂上阴影） (2)请你帮助工人师傅计算一下，需要喷刷油漆的总面积是多少． 【答案】(1) 俯视图和左视图如图所示：   ； (2) 【知识点】画简单组合体的三视图、求小立方块堆砌图形的表面积 【分析】（1）分别画出从上面看、左面看的图形即可得到答案； （2）求出从左面看、上面看、正面看得到的图形的面积，再根据从左面看和从右面看是一样的，从正面看和从后面看是一样的，进行计算即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：从正面和左面看得到的平面图形的面积都是， 从上面看到的平面图形的面积是， 从左面看和从右面看是一样的，从正面看和从后面看是一样的， 需要喷刷油漆的总面积是：． 【点睛】本题主要考查了作三视图，以及求几何体的表面积，考查学生的空间想象能力，熟练掌握以上知识点是解此题的关键． 20．（25-26九年级上·河南平顶山·期末）我们知道当一束平行光线垂直照在不透明的物体上时，会形成这个物体在某个方向的正投影，这个物体在投影面上形成的平面图形称为“视图”．请画出这个几何体的主视图、左视图、俯视图． 【答案】 解：如图所示，即为所作的三视图． 【知识点】画简单组合体的三视图、正投影 【分析】本题考查投影，三视图，掌握知识点是解题的关键． 根据三视图的定义解答即可． 【详解】略 【考点3】三视图中的计算（第21-29题） · 侧面积与表面积：根据三视图还原几何体后用公式计算 · 小立方块个数：俯视图定底、主视图左视图定高，数最少与最多 · 体积计算：先还原几何体再套用体积公式 21．（2025九年级·全国·专题练习）用若干个大小相同的小正方体搭成一个几何体，主视图和俯视图如图所示，组成这个几何体的小正方体最少有a个，最多有b个，则以a，b为两边长的直角三角形的最小锐角α的正切值是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【知识点】求角的正切值、已知三视图求最多或最少的小立方块的个数、解直角三角形的相关计算 【分析】先根据主视图和俯视图确定组成几何体的小正方体最少个数和最多个数，再分情况讨论以为边长的直角三角形的最小锐角的正切值． 【详解】解：由俯视图和主视图可知该几何体底层有5个小正方体，上层最多有3个小正方体，最少有1个小正方体， ∴该几何体最多是用8个小正方体，最少是用6个小正方体搭成的，即． 当8为直角三角形的直角边长时，斜边长为10， ∴最小锐角的正切值为； 当8为直角三角形的斜边长时，第三边长为， ∴最小锐角的正切值为． 故答案为：D． 【点睛】本题考查几何体的三视图与直角三角形锐角三角函数，掌握由三视图确定小正方体个数，再分情况分析直角三角形的锐角正切值是解题的关键． 二、填空题 22．（25-26九年级上·江苏南通·阶段检测）如图所示是某几何体的三视图，根据图中数据计算，这个几何体的侧面积为________； 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、已知三视图求侧面积或表面积、求圆锥侧面积 【分析】本题主要考查了几何体的三视图，求圆锥的侧面积，勾股定理，熟练掌握简单几何体的三视图特征，圆锥的侧面积公式是解题的关键． 根据该几何体的三视图可得这个几何体为圆锥，再根据圆锥的侧面积公式，即可求解． 【详解】解：根据该几何体的三视图得：这个几何体为圆锥， 根据题意得：该圆锥的母线长为， 所以这个几何体的侧面积为． 故答案为： 23．（25-26九年级上·山东济宁·期末）某立体图形的三视图如图所示，则这个立体图形的侧面展开图的面积是__________（结果保留π） 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、已知三视图求侧面积或表面积、求圆锥侧面积 【分析】本题主要考查了由三视图确定几何体和求圆锥的侧面积．从主视图以及左视图都为一个三角形，俯视图为一个圆形，可以确定这个几何体为一个圆锥，由三视图可知圆锥的底面半径为5，高为12，故母线长为13，据此可以求得其侧面积． 【详解】解：由三视图可知圆锥的底面半径为5，高为12，所以母线长为， 所以侧面积为， 故答案为：． 24．（24-25九年级下·辽宁铁岭·阶段检测）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积是________． 【答案】 【知识点】由三视图还原几何体、已知三视图求侧面积或表面积 【分析】本题考查由三视图判断几何体，几何体的表面积，根据三视图判断这个几何体的形状，再根据圆锥体的侧面积、底面积的计算方法进行计算即可． 【详解】解：根据三视图判断，该几何体是圆锥，底面圆的直径为4，母线长为5， ∴这个几何体的表面积是， 故答案为：． 25．（23-24七年级上·广东梅州·期中）用小立方块搭一个几何体，它的从正面和上面看到的如下图所示，则它最少需____个立方块，最多需____个立方块．    【答案】 8 12 【知识点】已知三视图求最多或最少的小立方块的个数 【分析】考查了由三视图判断几何体，本题要分成最多，最少两种情况进行讨论，然后根据“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”算出个数． 根据三视图的知识可得，几何体的底层确定有5个立方块，而第二层最少有2个立方块，最多会有4个，第三层最少要1个，最多要3个，故这个几何体最少要个，最多要个． 【详解】综合正视图和俯视图，这个几何体的底层最少要个小立方块，最多也需要个小立方块．第二层最少要2个小立方块，最多要个，第三层最少要1个，最多要个，因此这样的几何体最少要 个，最多要个． 故答案为：8，12． 26．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图①是一个直四棱柱，图②是它的三种视图，其中俯视图为一个等腰梯形，根据图中的数据，计算这个直四棱柱的表面积为__________． 【答案】240 【知识点】用勾股定理解三角形、已知三视图求侧面积或表面积 【分析】根据所给的主视图及左视图，可得等腰梯形的两底是2和8，高为4，棱柱的侧棱为10，然后利用勾股定理求出等腰梯形的腰，再计算表面积即可． 【详解】解：由题意可知，等腰梯形的上底是2，下底是，高是4，棱柱的侧棱为10， 如图，设底面为等腰梯形，过点作于点，则， 由题意得，，， ∴在中，， ∴直四棱柱的表面积为． 27．（23-24七年级上·重庆·阶段检测）如图，它是由几个棱长为1厘米的小正方体组成的几何体，从上面看到的该几何体的形状图，小正方形上的数字表示该位置上的小正方的个数．      (1)请你画出从正面和从左面看到的这个几何体的形状图； (2)求这个几何体的表面积（含底面）． 【答案】(1) 如图所示：    (2) 【知识点】画小立方块堆砌图形的三视图、已知三视图求侧面积或表面积 【分析】（1）根据俯视图和各位置的小正方体数量即可作图； （2）根据三视图即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：表面积为： 【点睛】本题考查了几何体的三视图．旨在考查学生的空间想象能力． 28．（23-24九年级上·陕西宝鸡·期中）用大小相同的小立方块搭成一个几何体，使得它从正面、上面看到的形状图如图，这样的几何体是否唯一？它最多需要多少个小立方块？最少需要多少个小立方块？ 【答案】这样的几何体不是唯一的，它最多需要小立方块的个数为：；它最少需要小立方块的个数为： 【知识点】已知三视图求最多或最少的小立方块的个数 【分析】由俯视图可知最底层由7个，然后再判断出第二层，第三层，最多和最少的个数即可判断。本题主要考查简单空间图形的三视图，考查空间想象能力，是基础题。 【详解】解：这样的几何体不是唯一的，如图所示， 最多时从左到右第一列小立方块的个数为，第二列的个数为，第二列的个数为，故它最多需要小立方块的个数为：； 最少时从左到右第一列小立方块的个数为，第二列的个数为，第二列的个数为，故它最少需要小立方块的个数为：． 29．（23-24七年级上·广东梅州·期中）下列几何体是由五个棱长为的小正方体组成的．    (1)该几何体的体积是_______，表面积是________； (2)分别画出该几何体从正面、左面、上面看到的形状图． 【答案】(1)； (2) 如图所示：    【知识点】从不同方向看几何体、求小立方块堆砌图形的表面积 【分析】本题考查组合几何体的计算和三视图的画法；用到的知识点为：主视图、左视图、俯视图分别是从物体的正面、左面、上面看到的平面图形． （1）根据几何体的形状得出立方体的体积和表面积即可； （2）主视图有3列，从左往右每一列小正方形的数量为1，2，1；左视图有2列，小正方形的个数为2，1；俯视图有3列，从左往右小正方形的个数为2，1，1． 【详解】（1）解：几何体的体积：， 表面积：； 故答案为：，； （2）略 【考点4】平行投影与正投影（第30-40题） · 平行投影下影子方向一致，物高与影长成比例 · 正投影形状由投影方向决定，注意垂直投影 · 坡度坡比与投影结合构建直角三角形求解 30．（25-26九年级上·四川成都·阶段检测）下列说法正确的是（   ） A．任意两个菱形都相似 B．对角线相等的四边形是矩形 C．在菱形中，若对角线，，则菱形的面积是 D．甲、乙两人在太阳光下的水平道路上行走，同一时刻他们的身高与其影长的比相等 【答案】D 【知识点】利用菱形的性质求面积、证明四边形是矩形、相似多边形、平行投影 【分析】本题考查了相似图形的判定，矩形的性质，菱形的性质，平行投影．逐项判断：A菱形角不一定相等，故不都相似；B对角线相等的四边形可能是等腰梯形，不一定是矩形；C菱形面积应为对角线乘积的一半，计算得而非；D太阳光下相似三角形原理成立，身高与影长比相等． 【详解】解：A：∵菱形的对应角不一定相等，∴任意两个菱形不一定相似，故A错误． B：∵等腰梯形的对角线相等，但不是矩形，∴B错误． C：∵菱形的面积公式为，∴，故C错误． D：∵太阳光线平行，形成相似三角形，∴身高与影长之比相等，故D正确． 故选：D． 31．（23-24九年级上·河北石家庄·期中）某一时刻，与地面垂直的长的木杆在地面上的影长为．同一时刻，树的影子一部分落在地面上，一部分落在坡角为的斜坡上，如图所示．已知落在地面上的影长为．落在斜坡上的影长为．根据以上条件，可求出树高为（    ）．（结果精确到）    A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】平行投影、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查了解直角三角形，平行投影，正确作出辅助线，构造直角三角形，掌握同一时刻太阳光下，物长和影长成比例，是解题的关键．过点D作于点E，连接并延长，交延长线于点F，易得，根据长的木杆在地面上的影长为，得出，则，求出，即可求解． 【详解】解：过点D作于点E，连接并延长，交延长线于点F， ∵，， ∴， ∵长的木杆在地面上的影长为， ∴，则， ∴， ∵长的木杆在地面上的影长为， ∴，则， 故选：D．    32．（23-24九年级上·河北石家庄·期中）古希腊数学家泰勒斯曾利用立杆测影的方法，在金字塔塔顶的影子处直立一根木杆，借助太阳光测金字塔的高度．如图所示，木杆长米．它的影长是米，同一时刻测得是米，则金字塔的高度是_________米． 【答案】 【知识点】平行投影 【分析】本题考查同一时刻物高和影长成正比．解题的关键是理解：如果光源是太阳，光线是平行照射的，此时物体的高度和影子的长度成正比例．据此列式解答即可． 【详解】解：根据题意知：相同时刻的物高与影长成正比， 设金字塔的高度为米，则： ∴， 解得：， ∴金字塔的高度是米． 故答案为：． 33．（23-24九年级上·陕西渭南·期末）如图，某地同一时刻两根木杆的影子是由______形成的投影．（填“太阳光”或“灯光”）    【答案】太阳光 【知识点】中心投影、平行投影 【分析】本题主要考查了平行投影与中心投影，两个物体与影长的对应顶点的连线交于一点，此时为灯光形成的光线，此点为光源所在；两个物体与影长的对应顶点的连线平行，此时为太阳光形成的光线，由图可知，两个物体与影长的对应顶点的连线平行，即是平行投影，据此可得答案． 【详解】解：由图可知，两个物体与影长的对应顶点的连线平行， ∴这样得到的投影是平行投影， ∴这是由太阳光形成的投影， 故答案为：太阳光。 34．（2025九年级·全国·专题练习）一块矩形纸板（不考虑厚度），其正投影可能是①矩形、②平行四边形、③线段、④三角形、⑤任意四边形、⑥点中的______________（填序号）． 【答案】①②③ 【知识点】正投影 【分析】本题考查正投影的形状判断，掌握根据矩形纸板与投影面的不同位置关系，分析正投影的形状是解题的关键． 根据正投影的定义，平行光线与投影面垂直时，矩形纸板在不同位置下的正投影形状可能不同． 【详解】解：当矩形纸板与投影面平行，或与投影面倾斜但有一边平行于投影面时，正投影为矩形（①）； 当矩形纸板与投影面倾斜且没有任何一边平行于投影面时，正投影为非矩形的平行四边形（②）； 当矩形纸板与投影面垂直时，正投影为线段（③）； 由于正投影是平行投影，保持平行性，因此不可能得到三角形（④）、任意四边形（⑤）或点（⑥）． 故答案为：①②③． 35．（2024·云南·模拟预测）小明和小华利用阳光下的影子来测量一建筑物顶部旗杆的高．如图所示，在某一时刻，他们在阳光下，分别测得该建筑物的影长为米，的影长为米，小明的影长为米，其中、、、、五点在同一直线上，、、三点在同一直线上，且，．已知小明的身高为米，则旗杆的高为_____米． 【答案】 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、平行投影、相似三角形实际应用 【分析】本题考查了平行投影和相似三角形的判定与性质，证明，利用相似比计算出的长，再证明，然后利用相似比计算的长，进一步计算即可求解，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． ∴， 同理，， ∴， ∴， ∴（米）， 故答案为：． 36．（25-26九年级上·江苏徐州·期末）如图，小明在时测得某树的影长为6米，时又测得该树的影长为2米，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为___________米． 【答案】 【知识点】平行投影、相似三角形实际应用 【分析】本题是在平行投影下考查了相似三角形的知识在实际中的应用，证明相似三角形并根据“相似三角形的对应边成比例”确定树高与两个影长的数量关系是解题的关键. 根据题意，画出示意图，证明，进而可得，即，代入数据可得答案. 【详解】解：根据题意，作， 树高为，且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 代入数据可得， （负值舍去）． 故答案为：． 37．（2025·广东肇庆·三模）如图所示，某时刻树梢顶点A的影子刚好落在台阶点G处．若测得台阶，且，此时台阶在地面的影子，树的底部到台阶的距离，则树高AB为__________． 【答案】 【知识点】平行投影、相似三角形实际应用 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行投影．作，，则四边形是矩形，推出，据此求解即可． 【详解】解：作于，于，则四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， 由题意得， ∴，即， ∴， ∴， 故答案为：． 38．（2024·广东·二模）阳光下，电线杆落在一段斜坡和水平地面上的影子分别是和，小亮量得，斜坡的坡度为，小亮的身高，此时他在水平地面上的影子长为，求电线杆的长度（结果保留根号）． 【答案】 【知识点】坡度坡比问题(解直角三角形的应用）、根据矩形的性质与判定求线段长、含30度角的直角三角形、平行投影 【分析】本题考查了矩形的性质和判定，三角函数，相似三角形的应用，利用影长测量物体的高度，通常利用相似三角形的性质即在同一时刻物高与影长的比相等．过点D作交的延长线于点E，于F， 根据坡度的定义可得，再根据三角函数可得，再根据相似三角形的性质可得，即可得解． 【详解】解：过点D作，交的延长线于点E，于F， 则， 四边形为矩形， ， 在中，斜坡的坡度为， 则， ， ，， ， ∵小亮的身高，此时他在水平地面上的影子长为， ， ， ， 答：电线杆的长度为． 39．（24-25九年级上·四川成都·期末）如图，某小区文化墙前面有两根高度不一的圆柱形立柱，立柱与文化墙均垂直于地面，且两立柱与墙的距离均为米．小明观察到高为米的矮立柱的影子完全落在地面上，其影长为米；而高立柱的部分影子落在墙上．假设落在地面上的影子均与墙面互相垂直，在不计立柱粗细与影子宽度的情况下，请回答下列问题： (1)小明的身高为米，此刻他的影子完全落在地面上，则小明的影长为多少米？ (2)此刻测得高立柱落在墙上的影长为米，求高立柱的高度． 【答案】(1)小明的影长为米 (2)高圆柱的高度为米 【知识点】平行投影、相似三角形实际应用、分式方程的其它实际问题 【分析】本题考查相似三角形的应用，平行投影，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． （1）根据同一时刻，物长与影长成正比，构建方程即可解决问题． （2）如图，连接，作分别求出的长即可解决问题． 【详解】（1）解：设小明的影长为x米． 由题意得，解得， 经检验：是分式方程的解． 小明的影长为米； （2）解：如图，连接AE，作 ， 四边形是平行四边形， 米， 设米， 由题意落在地面上的影长为米． ， ， 米， 答：高圆柱的高度为米． 40．（2025九年级·全国·专题练习）如图，人行道旁有两个高度相等的路灯，．小明上午上学时发现路灯在太阳光下的影子顶端恰好落在处，他自己影子的顶端恰好落在路灯的底部处；晚自习放学时，小明站在与上午相同的地方，发现在路灯的灯光下自己影子的顶端恰好落在处． (1)在图中画出小明站的位置（用线段表示，保留画图痕迹，不写画法）． (2)已知小明身高为，若上午上学时，高的木棒的影子为，小明距离处恰好，求路灯的高． 【答案】(1) 线段即为所求． (2)路灯的高为 【知识点】平行投影、相似三角形实际应用 【分析】（1）作出太阳光线，过作的平行线，与的交点即为小明的位置； （2）易得小明的影长，利用可得路灯的长度． 【详解】（1）略 （2）解：上午上学时，高的木棒的影子为， ． ， ， ， ， ，即路灯的高为． 【点睛】本题综合考查了中心投影和平行投影的应用，熟练掌握相关知识点是解决本题的关键． 【考点5】中心投影与实际应用（第41-52题） · 中心投影中光源位置决定影子方向与长短 · 利用相似三角形建立比例关系求高度或影长 · 点光源下的影子问题注意光源、物体顶点与影子端点共线 41．（25-26九年级上·辽宁阜新·期末）小明家的客厅有一张直径为，高的圆桌，在距地面的A处有一盏灯，圆桌的影子为．如图，根据题意，以为1个单位长度建立平面直角坐标系，其中点的坐标为，则点的坐标是_______． 【答案】 【知识点】坐标与图形综合、中心投影、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了中心投影、相似三角形的判定与性质、点坐标，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．先证出，根据相似三角形的性质求出的长，再求出的长，由此即可得． 【详解】解：由题意得：，，的边上的高为，的边上的高为， ∴， ∴，即， ∴， ∵点的坐标为， ∴， ∴， ∴点的坐标是． 故答案为：． 42．（25-26九年级上·山东东营·阶段检测）已知小丽的身高为，在同一时刻测得小丽和建筑物的投影长分别为和，建筑物的高是________． 【答案】/11米 【知识点】中心投影、相似三角形实际应用 【分析】本题考查了投影的性质：同一时刻物长与影长的比相等；据此列出比例式即可求解． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 即建筑物的高是， 故答案为：． 43．（2026·安徽阜阳·一模）一盏灯的光，落在《几何原本》的书页上，书在灯光下投下一片轮廓清晰的影子，这属于________投影．（填“平行”或“中心”） 【答案】中心 【知识点】中心投影 【分析】在投影中，由平行光线形成的投影是平行投影，由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影，判断光源类型即可得出结论． 【详解】解：∵灯光属于点光源， ∴该投影属于中心投影． 44．（24-25九年级上·山东淄博·期末）下列各种现象：①阳光下沙滩上人的影子；②晚上人走在路灯下的影子；③中午用来乘凉的树影；④阳光下旗杆的影子．其中属于中心投影的是_____（填序号） 【答案】② 【知识点】中心投影 【分析】本题考查了中心投影，明确太阳光一般看作平行光线是本题解题的关键． 根据中心投影的性质，找到光源是灯光即可得． 【详解】解：①阳光下沙滩上人的影子，是平行投影，不符合题意； ②晚上人走在路灯下的影子，是中心投影，符合题意； ③中午用来乘凉的树影，是平行投影，不符合题意； ④阳光下旗杆的影子，是平行投影，符合题意； 故答案为：②． 45．（25-26九年级上·陕西榆林·期末）孙敬是成语悬梁刺股中典故人物之一，孙敬“悬梁”在灯下读书的影子是_____投影．（填“中心”或“平行”） 【答案】中心 【知识点】中心投影 【分析】本题主要考查了中心投影，解题的关键是掌握中心投影的定义． 点光源发出的光线形成的投影是中心投影． 【详解】解：灯作为点光源，光线从一点发散，因此孙敬在灯下读书的影子是中心投影． 故答案为：中心． 46．（2024·广东茂名·二模）如图，如图，安装路灯的路面比种植树木的地面高，在路灯的照射下，路基留在地面上的影长为，通过测量知道的距离为，则路灯的高度是______m． 【答案】 【知识点】中心投影、相似三角形实际应用 【分析】本题考查了相似三角形的应用，中心投影，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 根据题意可得：，，，从而可得，，然后证明，从而利用相似三角形的性质进行计算，即可解答． 【详解】解：由题意得：，， ∴， 由题意得：， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴路灯的高度是, 故答案为：． 47．（25-26九年级上·河北邯郸·阶段检测）如图是三角尺在灯泡O的照射下在墙上形成的影子，现测得，，这个三角尺的面积与它在墙上形成的影子的面积的比是________． 【答案】 【知识点】中心投影、相似三角形实际应用 【分析】本题考查了相似三角形的应用，中心投影，根据题意可求出与的比，证明得到，再由三角尺与其在墙上形成的影子相似，结合相似三角形的面积之比等于相似比的平方即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴； 如图所示，由中心投影的性质可得， ∴， ∴， ∵三角尺与其在墙上形成的影子相似， ∴这个三角尺的面积与它在墙上形成的影子的面积的比是， 故答案为：． 48．（25-26八年级下·重庆·期末）如图，马路上有两根垂直于地面的路灯和，其中，，身高为的小凯在两根路灯之间的地面上走动，当小凯走到点处时，在路灯、的光线照射下他的影子顶端恰好分别落在地面上的点和点，（其中，，，，五点在同一直线上），则的长为________m． 【答案】 【知识点】中心投影、相似三角形的判定与性质综合、相似三角形实际应用 【分析】证明，得出对应边成比例，求出相关线段即可． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， 解得， ∴， ∴， 解得． 三、解答题 49．（24-25九年级上·四川成都·阶段检测）小明想利用太阳光测量楼高．他带着皮尺来到一栋楼下，发现对面墙上有这栋楼的影子，针对这种情况，他设计了一种测量方案，具体测量情况如下：如图所示，小明边移动边观察，发现站到点处时，可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠，且高度恰好相同．此时，测得小明落在墙上的影子高度，已知小明的身高为2，，（点，，在同一直线上），请你帮小明求出楼高． 【答案】 【知识点】中心投影、相似三角形实际应用 【分析】本题考查了相似三角形的应用，中心投影，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 过点作，垂足为，交于点，根据题意可得：，，，，然后证明，从而利用相似三角形的性质进行计算即可解答． 【详解】解：过点作，垂足为，交于点， 由题意得：，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴楼高为． 50．（25-26九年级下·广东江门·期中）综合与实践 主题：利用投影生成轴对称图形． 素材：一根5米长的木棍倾斜固定在半空，点A离地面高度为4米，点A，B之间的水平宽度为4米．如图（1），白天的某一时刻，阳光下（图中虚线为太阳光线）木棍在地面上投影为．如图（2），点B的正上方有一路灯P，夜晚在路灯P的照射下木棍在地面上的投影为． 【问题解决】 (1)如图（1），测得米，为验证木棍，投影线，投影线，影长组成的四边形是轴对称图形，请你帮助证明：． (2)如图（2），发现木棍，投影线，投影线，影长组成的四边形也是轴对称图形，请求出路灯P距地面的高度． 【答案】(1) 证明：如图所示，过点作交于点G， 由题意得， 又∵， ∴四边形是平行四边形，， ∴米， ∵米， ∴， ∴， ∴， ∴； (2)米 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解、中心投影、相似三角形的判定与性质综合、平行投影 【分析】（1）过点作交于点，证明四边形为平行四边形可得，即可证明； （2）过点作于点，于点，可知四边形是矩形，由题意可知，，三点在同一直线上，且，根据轴对称图形得到米，证明，进而求出，求出的长即可． 【详解】（1）略； （2）解：如图，过点作于点，于点，则四边形是矩形． 路灯在点正上方． ，，三点在同一直线上，且， 米，米， 米，（米）． 四边形是轴对称图形， （米）． ，， ， ， ， 米， （米）， 答：路灯距地面高度为米． 51．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段检测）综合实践活动课是数学新课标的新增内容．学习了相似三角形后，老师让同学们测量校园某一灯柱（是灯源处，灯杆忽略不计）的高度．一个学习小组成员准备了两根高米的竹竿，，并和灯柱插在同一条直线上，且两竹竿，相距米，如图所示． (1)请画出两竹竿在灯光下的影长； (2)经测量，竹竿的影长为米，竹竿的影长是米，求灯柱的高． 【答案】(1) 如图所示，即为所求； (2)灯柱的高为米 【知识点】中心投影、相似三角形实际应用 【分析】本题考查了中心投影，相似三角形的性质与判定； （1）连接 并延长交地面于，连接并延长交地面于则为竹竿的影长，为竹竿的影长； （2）依题意，，得出，根据相似三角形的性质列出比例式，进而解比例式即可求解． 【详解】（1）解：略． （2）依题意，，米， ∴， ∴，， 设米， ∴，， 解得， 答：灯柱的高为米． 52．（25-26九年级上·山东淄博·期末）如图，在平面直角坐标系中，点光源位于处，木杆平行于轴，木杆两端的坐标分别为． (1)画出木杆在轴上的投影； (2)求出其投影的长． 【答案】(1)如图所示，投影即为所求； (2) 【知识点】中心投影、相似三角形实际应用 【分析】本题考查了中心投影及相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键． （1）连接，并延长分别交x轴于点C，D即为所求； （2）如图，过作轴于，交于，证明出，得到，然后代入求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图，过作轴于，交于， ． ， ， ， ， ， ． 💯 课后巩固 复习建议 · 分清平行投影与中心投影，看光源类型 · 三视图牢记长对正、高平齐、宽相等 · 还原几何体从俯视图入手确定底层分布 · 求面积体积先还原几何体再套公式 · 投影实际应用构造相似三角形列比例 【作业1】．（24-25九年级下·吉林松原·阶段检测）由7个大小相同的小正方体搭成的几何体如图所示，它的左视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断简单组合体的三视图 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，根据图形得出它的左视图是有两列，从左到右每一列的正方形的个数分别为，，即可得解． 【详解】解：由图可得，它的左视图是有两列，从左到右每一列的正方形的个数分别为，，如图所示： 故选：B． 【作业2】．（2026·江苏扬州·中考真题）一个几何体的主视图是等腰三角形，这个几何体可能是（     ） A．长方体 B．圆柱 C．圆锥 D．球 【答案】C 【知识点】由三视图还原几何体 【分析】分别判断各选项几何体的主视图，即可判断． 【详解】解：A、长方体的主视图是长方形，故选项不符合题意； B、圆柱的主视图是长方形或圆，故选项不符合题意； C、圆锥的主视图可能是等腰三角形，故选项符合题意； D、球的主视图是圆，故选项不符合题意； 【作业3】．（2025·青海西宁·二模）如图是一个几何体的三视图，根据图纸标注的数据，求得这个几何体的侧面积是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】已知三视图求侧面积或表面积、求圆锥侧面积 【分析】本题考查了三视图，几何体侧面积的计算，解题的关键是根据三视图想象出该几何体的形状，由三视图可知，该几何体是一个圆锥，根据圆锥的侧面积公式求解． 【详解】解：由三视图可知，该几何体是一个圆锥，且底面圆的半径是，母线长是， 底面的周长是， 侧面积为：， 故选B． 【作业4】．（2025·辽宁·模拟预测）下列关于物体投影与视图的说法不正确的是（   ） A．生活中，由灯泡发出的光线形成的投影叫做正投影 B．正三棱柱（如图）的俯视图为等边三角形 C．日晷是我国古时重要的计时用具，其原理为平行投影 D．三视图在历史上有非常重大的应用，蒙日的《画法几何》与埃及金字塔均用到了视图原理 【答案】A 【知识点】中心投影、平行投影 【分析】本题主要考查投影，熟练掌握投影与视图是解题的关键．根据投影和视图的定义进行判断即可． 【详解】解：生活中，由灯泡发出的光线形成的投影不叫做正投影，故选项A错误，符合题意； 正三棱柱（如图）的俯视图为等边三角形，故选项B正确，不符合题意； 日晷是我国古时重要的计时用具，其原理为平行投影，故选项C正确，不符合题意； 三视图在历史上有非常重大的应用，蒙日的《画法几何》与埃及金字塔均用到了视图原理，故选项D正确，不符合题意； 故选A． 【作业5】．（24-25九年级上·河北张家口·期中）如图，一块面积为的三角形硬纸板（记为）平行于投影面时，在点光源的照射下形成的投影是，若，则的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用相似三角形的性质求解、中心投影 【分析】本题考查了平行投影性质和相似三角形面积比，熟练掌握平行投影下图形的相似性质、相似三角形的相似比及其与面积比的关系，是解决本题的关键． 根据中心投影性质得与是相似，求出相似比，再根据面积比等于位似比的平方即可求解． 【详解】解：一块面积为的三角形硬纸板（记为）平行于投影面时，在点光源的照射下形成的投影是， ， 与相似比是， ， 的面积为， ， 故选：C． 【作业6】．（25-26九年级上·河南濮阳·期末）如图，该几何体由大小相同的小正方体拼接而成．若移走一块小正方体后，几何体的主视图保持不变，那么移走的小正方体是_____．（填写所标的序号） 【答案】④ 【知识点】判断简单组合体的三视图 【分析】本题考查了由三视图判断几何体，简单组合体的三视图，根据主视图是从正面看得到的图形，可得答案． 【详解】解：观察图形可知，若移走一块小正方体，几何体的主视图不发生改变，则移走的小正方体是④． 故答案为：④． 【作业7】．（24-25七年级上·四川成都·期末）一个几何体由几个大小相同的小立方块搭成，从左面和从正面看到的这个几何体的形状图如图所示，则搭成这个几何体的小立方块有_____个． 【答案】 【知识点】由三视图，判断小立方体的个数、从不同方向看几何体 【分析】此题考查三个不同方向观察几何体，熟练掌握空间想象能力是解题的关键； 根据题意可得该几何体的底层有个小立方块，上层有个小立方块，据此可得答案； 【详解】解：根据题意可知，该几何体的底层有个小立方块，上层有个小立方块， 所以搭成这个几何体的小立方块有个； 故答案为： 【作业8】．（2024·湖南衡阳·模拟预测）在一个仓库里堆积着正方体的货箱若干，要搬运这些箱子很困难，可是仓库管理员要落实一下箱子的数量，于是就想出一个办法；将这堆货物的三种视图画了出来，如图所示，现要取走一些货箱，但要求剩余货箱的主视图不变，最多可以取走______个货箱． 【答案】4 【知识点】由三视图，判断小立方体的个数、已知三视图求最多或最少的小立方块的个数 【分析】本题考查了三视图；由三视图可确定出货箱的个数，再根据要求主视图不变即可确定最多可取走的货箱． 【详解】解：依题意得：俯视图每个正方形位置上的正方体个数如图所示： 由俯视图知，货物底部有6个货箱，第二层从左往右数第二列前后各有一个，货物总共有8个货箱； 要保持主视图不变，则货物最右边那列最多可以搬走其中的两箱，中间一列最多可以搬走第一排或第二排的两箱，故最多可以取走4箱货物； 故答案为：4． 【作业9】．（25-26九年级上·四川绵阳·阶段检测）学校花园的栅栏在阳光下的影子属于______投影．（填“平行”或“中心”） 【答案】平行 【知识点】平行投影 【分析】本题主要考查了平行投影，熟练掌握平行投影的定义，是解题的关键．阳光光线可视为平行，因此影子属于平行投影． 【详解】解：由于太阳距离地球很远，阳光光线近似平行，因此栅栏在阳光下的影子是平行投影． 故答案为：平行． 【作业10】．（25-26九年级下·全国·课前预习）如图，身高的某学生沿着树影由B向A走去，当走到点C时，他的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得，则树的高度为______． 【答案】 【知识点】中心投影 【分析】本题考查了中心投影的应用，设树的高度为m，由题意得，据此即可求解． 【详解】解：设树的高度为，由题意得： ， ∵， ∴， 解得：， ∴树的高度为， 故答案为：． 【作业11】．（2025九年级·全国·专题练习）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_______． 【答案】 【知识点】由三视图还原几何体、已知三视图求体积 【分析】本题考查了由三视图判断几何体的知识，根据三视图得到几何体的形状是解题的关键． 根据三视图确定该几何体是由棱长为的正方体截掉一个长方体后剩余的部分． 【详解】解：由三视图可知，该几何体是由棱长为的正方体截掉一个长方体后剩余的部分， ∴该几何体的体积为． 故答案为： ． 【作业12】．（23-24七年级上·山西太原·阶段检测）如图是某几何体的三视图及相关数据，则该几何体的侧面积为 ________． 【答案】 【知识点】已知三视图求侧面积或表面积 【分析】本题主要考查由三视图判断几何体和求几何体的侧面积，解题的关键是根据三视图判断几何体的形状及对应相关数据．由三视图知，该几何体是底面半径为2，高为6的圆柱体，再根据圆柱体侧面积的公式计算即可． 【详解】解：由三视图知，该几何体是底面半径为2，高为6的圆柱体， 所以该几何体的侧面积为， 故答案为：． 【作业13】．（24-25九年级下·全国·单元测试）如图①、图②所示，这两个图形的正投影分别是______． 【答案】圆、矩形 【知识点】正投影 【分析】本题考查了正投影的定义，解题的关键是掌握正投影的定义． 根据正投影的定义，确定圆锥和圆柱在平行光线下垂直投影的形状即可． 【详解】解： 因为圆锥的底面是圆，从顶点向底面作正投影， 得到的是圆，所以圆锥在平行光线的正投影下，其投影形状为圆； 因为圆柱的侧面展开图是矩形，从侧面作正投影，得到的是矩形，所以圆柱在平行光线的正投影下，其投影形状为矩形； 故答案为：圆、矩形． 【作业14】．（23-24六年级上·山东烟台·期中）如图是由个大小相同的小正方体搭成的几何体．    (1)在保持从正面看和左面看到的几何体的形状图都不变的情况下，最多可以拿掉__________个小正方体，最多可以加上__________个小正方体； (2)请在下面方格纸中分别画出这个几何体从正面看、从左面看、从上面看的形状图． 【答案】(1)， (2) 根据图示，三视图如下， 【知识点】画小立方块堆砌图形的三视图、判断简单组合体的三视图、从不同方向看几何体、已知三视图求最多或最少的小立方块的个数 【分析】（1）根据正视图、左视图的特点进行分析即可求解； （2）根据图示，结合正视图、左视图、俯视图的特点进行求解； 本题主要考查立体图形的三视图，掌握三视图的特点是解题的关键． 【详解】（1）解：如图所示，    ∴保持从正面看和左面看到的几何体的形状图都不变的情况下， 在第二层第三列最多可以拿掉个小正方体， 在第二层第二列第二行和第三行各加个，在第三层第二列第三行加个，在第三列第三行加个，即最多可以加上个小正方体， 故答案为：，． （2）略 【作业15】．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图是几何体得到的三视图． (1)说出这个几何体的名称； (2)画出它的一种表面展开图； (3)求这个几何体的表面积和体积． 【答案】(1)三棱柱 (2)如图即为所求； (3)表面积为，体积为 【知识点】由三视图还原几何体、已知三视图求体积、已知三视图求侧面积或表面积、几何体展开图的认识 【分析】（1）根据三视图求解即可； （2）画出三棱柱的一种表面展开图即可； （3）利用三棱柱的表面积和体积公式求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：这个几何体的表面积为， 这个几何体的体积为． 【作业16】．（25-26九年级上·陕西西安·期中）数学实践活动课上，小辰所在的小组利用所学的知识测量当地一座古塔的高度（）．测量方法如下：在古塔（）的前方点D处直立一根长的竹竿，然后测得在阳光照射下古塔在地面上的影长，竹竿在地面上的影长 ．已知图上所有点均在同一平面内，均垂直于地面．根据以上测量方法，求出该古塔的高度（．（保留整数） 【答案】该古塔的高度为 【知识点】平行投影、相似三角形实际应用 【分析】本题考查相似三角形的实际应用，平行投影，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质． 证明即可求解． 【详解】解：由题意得，，， ∴，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 答：该古塔的高度为． 【作业17】．（26-27九年级下·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，点是一个点光源．木杆两端的坐标分别为，．求出木杆在轴上的投影的长． 【答案】木杆在轴上的投影的长为6 【知识点】中心投影、相似三角形的判定与性质综合、相似三角形实际应用 【分析】过点作轴，垂足为，交于点，证明，即可解答； 【详解】解：如图，过点作轴，垂足为，交于点． ，，， ，，．， ，， ， ， 即， ． 答：木杆在轴上的投影的长为6． 【作业18】．（25-26七年级上·重庆·期中）如图的几何体是由若干个大小相同且棱长为的小立方块搭成． (1)请在方框中画出从正面和从左面看到的这个几何体的形状图； (2)该几何体的表面积（包括底面）是 ． 【答案】(1) 如图， (2)38 【知识点】从不同方向看几何体、求小立方块堆砌图形的表面积 【分析】本题主要考查了从不同的方向看几何体，计算几何体的表面积等知识点． （1）根据题意可知，从正面看共三列，从左边数，第一列有两个小正方形，第二列有一个小正方形，第三列有三个小正方形，从左面看共三列，从左边数，第一列有两个小正方形，第二列有三个小正方形，第三列有一个小正方形，据此画图即可； （2）根据从三个方向看到的形状确定该几何体露在外面的面(边长为的正方形)有多少个即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解： ． 即该几何体的表面积是． 试卷第1页（共3页） 1 学科网（北京）股份有限公司 $