11 第一章 4．1　一元二次函数（教师用书）-2022-2023学年新教材高中数学必修第一册【正禾一本通】同步课堂高效讲义（北师大版2019）

§4　一元二次函数与一元二次不等式 4．1　一元二次函数 [学习目标]　1．通过一个例子研究二次函数的图象和性质，得到一般性结论，培养学生归纳、抽象能力．2．掌握二次函数的概念、表达式、图象与性质．会用配方法解决有关问题，能熟练地求二次函数的最值． 知识点一　一元二次函数的图象变换 1．抛物线 通常把一元二次函数的图象叫作抛物线． 2．一元二次函数的图象变换 一元二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象可以由y＝ax2的图象经过向左(或向右)平移|h|个单位长度，再向上(或向下)平移|k|个单位长度而得到． (链接教材P33例1)在同一坐标系中作出下列函数的图象． (1)y＝x2；(2)y＝x2－2；(3)y＝2x2－4x． 并分析如何把y＝x2的图象变换成y＝2x2－4x的图象． 解析：　列表： x －3 －2 －1 0 1 2 3 y＝x2 9 4 1 0 1 4 9 y＝x2－2 7 2 －1 －2 －1 2 7 y＝2x2－4x 30 16 6 0 －2 0 6 描点、连线即得相应函数的图象，如图所示． 由图象可知由y＝x2到y＝2x2－4x的变化过程如下： 法一：先把y＝x2的图象向右平移1个单位长度得到y＝(x－1)2的图象，然后把y＝(x－1)2的图象横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍，得到y＝2(x－1)2的图象，最后把y＝2(x－1)2的图象向下平移2个单位长度便可得到y＝2x2－4x的图象． 法二：先把y＝x2的图象向下平移1个单位长度得到y＝x2－1的图象，然后再把y＝x2－1的图象向右平移1个单位长度得到y＝(x－1)2－1的图象，最后把y＝(x－1)2－1的图象横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍，便可得到y＝2(x－1)2－2，即y＝2x2－4x的图象． 方法技巧 任意一元二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)都可转化为y＝a(x＋h)2＋k的形式，都可由y＝ax2图象经过适当的平移得到，具体平移方法，如图所示： 即时练1．画出函数y＝x2－6x＋21的图象，并说明它是如何由y＝x2平移得到的． 解析：　∵y＝x2－6x＋21＝(x－6)2＋3． ∴抛物线的顶点坐标为(6，3)，对称轴为x＝6． 列表： x 4 5 6 7 8 y 5 3．5 3 3．5 5 描点、连线即得函数y＝x2－6x＋21的图象，如图所示．把y＝x2的图象向右平移6个单位长度，再向上平移3个单位长度，就可得到y＝x2－6x＋21的图象． 知识点二　一元二次函数的性质 一元二次函数y＝a(x－h)2＋k(a≠0)有如下性质： (1)函数y＝a(x－h)2＋k的图象是一条抛物线，顶点坐标是(h，k)，对称轴是直线x＝h． (2)当a>0时，抛物线开口向上；在区间(－∞，h]上，函数值y随自变量x的增大而减小；在区间[h，＋∞)上，函数值y随自变量x的增大而增大；函数在x＝h处有最小值，记作ymin＝k． 当a<0时，抛物线开口向下；在区间(－∞，h]上，函数值y随自变量x的增大而增大；在区间[h，＋∞)上，函数值y随自变量x的增大而减小；函数在x＝h处有最大值，记作ymax＝k． 已知函数y＝x2－3x－， (1)求函数图象的顶点坐标、对称轴方程和最值； (2)若x∈[1，4]，求函数值的取值范围． 解析：　(1)对函数右端的表达式配方， 得y＝(x－3)2－， 所以函数图象的顶点坐标为， 对称轴方程为x＝3，最小值为－，无最大值． (2)由于3∈[1，4]，所以函数值在区间[1，3]上随x的增大而减小，在区间[3，4]上随x的增大而增大， 所以当x＝3时，ymin＝－， 当x＝1时，ymax＝×4－＝－， 所以函数值的取值范围为． 求一元二次函数在闭区间上的最值的方法 一看开口方向；二看对称轴和区间的相对位置，简称“两看法”．只需作出一元二次函数相关的部分简图，利用数形结合法就可以得到问题的解．方法技巧 即时练2．已知函数y＝ax2＋2ax＋1在区间[－1，2]上有最大值4，求实数a的值． 解析：　y＝a(x＋1)2＋1－a． 当a＝0时，函数在区间[－1，2]上的值不变，恒为常数1，不符合题意，舍去； 当a>0时，函数值在区间[－1，2]上随x的增大而增大，最大值为8a＋1＝4， 解得a＝； 当a<0时，函数值在区间[－1，2]上随x的增大而减小，最大值为1－a＝4， 解得a＝－3． 综上，a的值为－3或． 待定系数法求解析式 已知一元二次函数的最大值是8，且当x＝2时，y＝－1；当x＝－1时，y＝－1．求此一元二次函数的解析式． 解析：　法一(利用一般式)： 设y＝ax2＋bx＋c(a≠0)． 由题意得解得 ∴所求一元二次函数的解析式为y＝－