第1章 4.2 一元二次不等式及其解法-【精讲精练】2023-2024学年高中数学必修第一册北师大版（教师用书）

§4.2　一元二次不等式及其解法 学业标准 素养目标 1．通过一元二次函数图象了解一元二次不等式与相应的一元二次函数、一元二次方程的联系，会解一元二次不等式．(难点) 2．掌握含有参数的一元二次不等式的解法．(重点) 1．借助一元二次不等式及其解法的学习，提升直观想象等核心素养． 2．通过理解一元二次方程与一元二次不等式的关系，提升数学抽象等核心素养． [教材梳理] 导学1　一元二次不等式的有关概念 　当a＞0时，若方程ax2＋bx＋c＝0有两个不等实根α，β且α＜β，则不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是什么？ [提示]　借助函数y＝ax2＋bx＋c的图象可知，不等式的解集为{x|x＜α或x＞β}． 　若问题1中的a＜0，则不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是什么？ [提示]　解集为{x|α＜x＜β}． ◎结论形成 1．一元二次不等式的定义 只含有__一个__未知数，且未知数的__最高__次数是__2__的不等式叫作一元二次不等式． 2．一元二次不等式的一般形式及解集 一般形式 ax2＋bx＋c＞0(≥0)或ax2＋bx＋c＜0(≤0)(其中a，b，c为常数且__a≠0__) 解集 使一元二次不等式成立的所有未知数的__值组成的集合__叫这个一元二次不等式的解集 导学2　一元二次不等式与一元二次函数、一元二次方程之间的关系 　设一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)和ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集分别为{x|x＜x1或x＞x2}，{x|x1＜x＜x2}(x1＜x2)，则x1＋x2，x1x2为何值？ [提示]　 x1＋x2＝－，x1x2＝. 　由问题1中的结论可知，不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集的端点与对应方程ax2＋bx＋c＝0的两根之间有什么关系？ [提示]　不等式解集的端点值是相应方程的根． ◎结论形成 一元二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 判别式 Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 一元二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根 有两个不等的实根 x1，2＝ (x1＜x2) 有两个相等 的实根x1＝ x2＝－ 没有实根 一元二次不等式的解集 ax2＋bx ＋c＞0 (a＞0) __{x|x＜x1__ __或x＞x2}__ R ax2＋bx ＋c＜0 (a＞0) __{x|x1＜x＜x2}__ __∅__ __∅__ [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)mx2－5x＜0是一元二次不等式．(　　) (2)若方程ax2＋bx＋c＝0(a＜0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为R.(　　) (3)设二次方程ax2＋bx＋c＝0的两实数根为x1，x2，则一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0的解集不可能为{x|x1＜x＜x2}．(　　) (4)ax2＋bx＋c>0的解集可能是(m，＋∞).(　　) 解析　(1)当m＝0时，是一元一次不等式；当m≠0时，它是一元二次不等式． (2)若方程ax2＋bx＋c＝0(a＜0)没有实根，则不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为∅. (3)当二次项系数小于0时，不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|x1＜x＜x2}． (4)注意a＝0，b>0时． 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．不等式2x2－x－1＞0的解集是(　　) A．　 B．(1，＋∞) C．(－∞，1)∪(2，＋∞) D．∪(1，＋∞) 解析　∵2x2－x－1＝(2x＋1)(x－1)， ∴由2x2－x－1＞0得(2x＋1)(x－1)＞0， 解得x＞1或x＜－， ∴不等式的解集为∪(1，＋∞). 答案　D 3．不等式x2－5x＋6≤0的解集为____________． 解析　利用一元二次不等式的解法求解． ∵x2－5x＋6≤0，∴(x－2)(x－3)≤0. ∴2≤x≤3.∴不等式的解集为{x|2≤x≤3}． 答案　{x|2≤x≤3} 4．若二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＜0)的图象与x轴的两个交点为(－1，0)和(3，0)，则不等式ax2＋bx＋c＜0的解集是____________． 解析　根据二次函数的图象知所求不等式的解集为(－∞，－1)∪(3，＋∞). 答案　(－∞，－1)∪(3，＋∞) 题型一　解一元二次不等式 　解下列不等式： (1)x2－8x＋15≥0； (2)－x2－2x＞－3； (3)－2x＞－3＋3x－3x2. [解析]　(1)方程x2－8x＋15＝0的两根分别为x1＝3，x2＝5. 函数y＝x2－8x＋15的图象是开口向上的抛物线与x轴有两个交点(3，0)和(5，0)，(如下图所示) 观察图象可