19 第二章 4．1　第1课时　函数奇偶性的概念（教师用书）-2022-2023学年新教材高中数学必修第一册【正禾一本通】同步课堂高效讲义（北师大版2019）

§4　函数的奇偶性与简单的幂函数 4．1　函数的奇偶性 [学习目标]　1．理解函数的奇偶性及其几何意义，培养数学抽象的核心素养．2．学会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性，提升直观想象的核心素养．3．学会判断函数的奇偶性，强化逻辑推理的核心素养．4．在具体问题情境中，运用数形结合思想，利用奇偶性解决函数性质的综合问题，提升数学运算的核心素养． 第1课时　函数奇偶性的概念 知识点一　函数的奇偶性 1．奇函数、偶函数的定义 奇函数 偶函数 定义 一般地，设函数f(x)的定义域是A，如果对任意的x∈A，有－x∈A，且f(－x)＝－f(x)，那么称函数f(x)为奇函数 一般地，设函数f(x)的定义域是A，如果对任意的x∈A，有－x∈A，且f(－x)＝f(x)，那么称函数f(x)为偶函数 定义域特征 定义域必须是关于坐标原点对称的区间，也就是说奇函数和偶函数的定义域均关于原点对称 等价 形式 f(x)＋f(－x)＝0 f(x)－f(－x)＝0 ＝－1(f(x)≠0) ＝1(f(x)≠0) 2．函数的奇偶性 当函数f(x)是奇函数或偶函数时，称f(x)具有奇偶性． (链接教材P65例2)判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝2－|x|； (2)f(x)＝＋ ； (3)f(x)＝； (4)f(x)＝ 解析：　(1)∵函数f(x)的定义域为R，关于原点对称， 又f(－x)＝2－|－x|＝2－|x|＝f(x)， ∴f(x)为偶函数． (2)∵函数f(x)的定义域为{－1，1}，关于原点对称，且f(x)＝0， 又∵f(－x)＝－f(x)，f(－x)＝f(x)， ∴f(x)既是奇函数又是偶函数． (3)∵函数f(x)的定义域为{x|x≠1}，不关于原点对称，∴f(x)是非奇非偶函数． (4)f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．当x>0时，－x<0， f(－x)＝1－(－x)＝1＋x＝f(x)； 当x<0时，－x>0， f(－x)＝1＋(－x)＝1－x＝f(x)． 综上可知，对于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)， 都有f(－x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数． 方法技巧 判断函数奇偶性的方法 (1)定义法 根据函数奇偶性的定义进行判断．步骤如下： ①判断函数f(x)的定义域是否关于原点对称．若不对称，则函数f(x)为非奇非偶函数，若对称，则进行下一步． ②验证．f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)． ③下结论．若f(－x)＝－f(x)，则f(x)为奇函数； 若f(－x)＝f(x)，则f(x)为偶函数； 若f(－x)≠－f(x)，且f(－x)≠f(x)，则f(x)为非奇非偶函数． (2)图象法 ①若f(x)的图象关于原点对称，则f(x)是奇函数； ②若f(x)的图象关于y轴对称，则f(x)是偶函数； ③若f(x)的图象既关于原点对称，又关于y轴对称，则f(x)既是奇函数，又是偶函数； ④若f(x)的图象既不关于原点对称，又不关于y轴对称，则f(x)既不是奇函数也不是偶函数． (3)性质法 ①偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数； ②奇函数的和、差仍为奇函数； ③奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数； ④一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数． 即时练1．判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝x2(x2＋2)； (2)f(x)＝|x＋1|－|x－1|； (3)f(x)＝． 解析：　(1)∵x∈R，关于原点对称， 又∵f(－x)＝(－x)2[(－x)2＋2]＝x2(x2＋2)＝f(x)， ∴f(x)为偶函数． (2)∵x∈R，关于原点对称， 又∵f(－x)＝|－x＋1|－|－x－1| ＝|x－1|－|x＋1|＝－(|x＋1|－|x－1|) ＝－f(x)， ∴f(x)为奇函数． (3)f(x)的定义域为[－1，0)∪(0，1]，关于原点对称， 又∵f(－x)＝＝－＝－f(x)． ∴f(x)为奇函数． 知识点二　奇偶函数的图象特征 1．奇函数的图象特征 如果一个函数是奇函数，那么这个函数的图象是以原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以原点为对称中心的中心对称图形，那么这个函数是奇函数． 2．偶函数的图象特征 如果一个函数是偶函数，那么这个函数的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数． (链接教材P66思考交流2)定义在R上的奇函数f(x)在[0，＋∞)上的图象如图． (1)画出f(x)的图象； (2)解不等式xf(x)>0． 解析：　(1)先描出点(1，1)，(2，0)关于原点的对称点(－1，－1)，(－2，0)，连线可得f(x)的图象如图． (2)xf(x)>0即图象上横坐标、纵坐标同号．结合