10 第一章 3.2 第2课时　基本不等式(B)（教师用书）-2022-2023学年新教材高中数学必修第一册【正禾一本通】同步课堂高效讲义（北师大版2019）

第2课时　基本不等式(B) [学习目标]　1．通过实例，掌握基本不等式及其应用，培养学生数学抽象的核心素养．2．能够利用基本不等式求函数或代数式的最值，提升数学运算和逻辑推理的核心素养．3．会利用基本不等式求解实际问题中的最值，强化数学运算的核心素养． 知识点一　创造条件利用基本不等式求最值 (链接教材P30习题A5)求下列函数的最值，并求出相应的x值． (1)y＝x＋(x<0)； (2)y＝＋x(x>3)； (3)y＝x(1－3x)． 解析：　(1)y＝x＋＝－≤－2·＝－，当且仅当x＝(x<0)，即x＝－时，y取最大值－． (2)y＝＋x＝＋(x－3)＋3≥2·＋3＝5，当且仅当＝x－3(x>3)，即x＝4时，y取最小值5． (3)y＝x(1－3x)＝×3x(1－3x)≤×＝，当且仅当3x＝1－3x，即x＝时，y取最大值． 方法技巧 利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件．解题时应对照已知条件和欲求的式子，运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创造使用基本不等式的条件，具体可以归纳为：一不正，用其相反数，改变不等号方向；二不定，应凑出定和或定积；三不等，一般需用其他方法，如尝试利用函数的单调性． 即时练1．当x≥时，的最小值为________． 解析：　方法一　∵x≥，∴x－2>0，则 ＝≥1，当且仅当x－2＝，即x＝3时，等号成立，此时取得最小值1． 方法二　令2x－4＝t，∵x≥，∴t≥1． ∴x＝＋2． 原式可化为＝＝＋≥2 ＝1， 当且仅当＝，即t＝2，x＝3时，等号成立，此时取得最小值1． 答案：　1 已知正数a，b满足a＋b＝1，则＋的最小值为________． 解析：　∵正数a，b满足a＋b＝1， ∴＋＝(a＋b)＝2＋＋ ≥2＋2 ＝4， 当且仅当a＝b＝时，等号成立． ∴＋的最小值为4． 答案：　4 方法技巧 在利用基本不等式求最值时，常用的技巧就是“1”的代换，其目的是借助“1”将所求式子的结构进行调整，优化到能够利用基本不等式求解为止． 即时练2．已知正数a，b满足＋＝4，则a＋b的最小值为________． 解析：　∵a＋b＝(a＋b)＝＋≥＋2 ＝＋＝1，当且仅当＝，即a＝b＝时，等号成立，所以a＋b的最小值为1． 答案：　1 知识点二　利用不等式解决实际问题 利用基本不等式解决应用问题的关键在于正确构建数学模型，一般来说，都是从具体的几何图形，通过相关的关系构建等量关系．在解题过程中尽量向模型ax＋≥2(a>0，b>0，x>0)上去转化． (链接教材P29例5)某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格为1 800元，面粉的保管费及其他费用为平均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费900元．求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天支付的总费用最少？ 解析：　设该厂每x天购买一次面粉，其购买量为6x吨． 由题意可知，面粉的保管费等其他费用为3×[6x＋6(x－1)＋6(x－2)＋…＋6×1]＝9x(x＋1)(元)． 设平均每天所支付的总费用为y元， 则y＝[9x(x＋1)＋900]＋6×1 800＝9x＋＋10 809≥2＋10 809＝10 989(元)， 当且仅当9x＝，即x＝10时，等号成立． 故该厂每10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少． 方法技巧 求实际问题中最值的一般思路 (1)先读懂题意，设出变量，理清思路，列出函数关系式． (2)把实际问题抽象成函数的最值问题． (3)在定义域内，求函数的最值时，一般先考虑用基本不等式． (4)正确写出答案． 即时练3．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为y＝－x2＋18x－25(x∈N*)，则当每台机器运转________年时，年平均利润最大，最大值是________万元． 解析：　每台机器运转x年的年平均利润为＝18－(x＋)，且x>0，故≤18－2＝8， 当且仅当x＝5时等号成立，此时年平均利润最大，最大值为8万元． 答案：　5　8 利用基本不等式解决恒成立问题 运用基本不等式求恒成立问题中参数的取值范围时，可将参数分离出来，转化为求函数的最值．求函数的最值时，要巧妙利用“和定积最大，积定和最小”这一结论． 已知x>0，y>0． (1)若xy＝2，x>y，不等式x2＋y2－4mx＋4my≥0恒成立，求实数m的取值范围； (2)若不等式＋＋≥0恒成立，求实数m的最小值； (3)若x＋y＝1．且＋≥9恒成立，求正实数a的最小值． 解析：　(1)∵x>y>0，∴x－y>0， ∴x2＋y2－4mx＋4my≥0恒成立等价于4m≤恒成立． 又xy＝2， ∴＝＝＝x－y＋≥4， 当且仅当x－y＝，即x－y＝2，即x＝＋1，y