4 第一章 1.3 第2课时　集合的补集（教师用书）-2022-2023学年新教材高中数学必修第一册【正禾一本通】同步课堂高效讲义（北师大版2019）

第2课时　集合的补集 [学习目标]　1．理解补集的含义，会求给定子集的补集，培养学生数学抽象的核心素养．2．能使用Venn图表示集合的关系及运算，提升直观想象的核心素养．3．通过补集的运算及集合的综合运算，体会数形结合、函数与方程、转化与化归等数学思想． 知识点一　补　集 1．全集 (1)定义：在研究某些集合的时候，它们往往是某个给定集合的子集，这个给定的集合叫作全集． (2)记法：全集通常记作U． 2．补集 (1)文字语言：设U是全集，集合A是U的一个子集，则由U中所有不属于集合A的元素组成的集合，叫作U中子集A的补集，记作∁UA； (2)符号语言：∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}； (3)图形语言： (1)已知全集U＝{1，2，3，4，5，6，7}，集合A＝{2，4，5}，则∁UA＝(　　) A．∅ B．{1，3，6，7} C．{2，4，6} D．{1，3，5，7} (2)若集合A＝{x|－1≤x<1}，当S分别取下列集合时，求∁SA． ①S＝R； ②S＝{x|x≤2}； ③S＝{x|－4≤x≤1}． 解析：　(1)∁UA＝{1，3，6，7}，故选B． (2)①把集合S和A表示在数轴上，如图所示． 由图知∁SA＝{x|x<－1或x≥1}． ②把集合S和A表示在数轴上，如图所示． 由图知∁SA＝{x|x<－1或1≤x≤2}． ③把集合S和A表示在数轴上，如图所示． 由图知∁SA＝{x|－4≤x<－1或x＝1}． 答案：　(1)B 方法技巧 (1)如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合补集的定义来求解．另外，针对此类问题，在解答过程中也常常借助Venn图来求解．这样处理起来，相对来说比较直观、形象，且解答时不易出错． (2)如果所给集合是无限集，在解答有关集合补集问题时，则常借助数轴，先把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后根据补集的定义求解． 即时练1．设全集U＝{x|x是小于5的非负整数}，A＝{2，4}，则∁UA＝(　　) A．{1，3} B．{1，3，5} C．{0，1，3} D．{0，1，3，5} C　[全集U＝{x|x是小于5的非负整数}＝{0，1，2，3，4}，A＝{2，4}，所以∁UA＝{0，1，3}．故选C．] 即时练2．若全集U＝{x∈R|－2≤x≤2}，则集合A＝{x∈R|－2≤x≤0}的补集∁UA为(　　) A．{x∈R|0<x<2} B．{x∈R|0≤x<2} C．{x∈R|0<x≤2} D．{x∈R|0≤x≤2} C　[借助数轴易得∁UA＝{x∈R|0<x≤2}． ] 知识点二　补集的性质及应用 (1)A∩(∁UA)＝∅，A∪(∁UA)＝U； (2)∁U(∁UA)＝A，∁UU＝∅，∁U∅＝U； (3)(∁UA)∩(∁UB)＝∁U(A∪B)，(∁UA)∪(∁UB)＝∁U(A∩B)． (链接教材P12习题2)某班举行数理化竞赛，每人至少参加一科，已知参加数学竞赛的有27人，参加物理竞赛的有25人，参加化学竞赛的有27人，其中参加数学、物理两科的有10人，参加物理、化学两科的有7人，参加数学、化学两科的有11人，而参加数、理、化三科的有4人，求全班人数． 解析：　设参加数学、物理、化学三科竞赛的同学组成的集合分别为A，B，C．由题意可知， 集合A，B，C中元素个数分别为27，25，27, 集合A∩B，B∩C，A∩C，A∩B∩C中的元素个数分别为10，7，11，4，画出Venn图，如图． 故全班人数为10＋13＋12＋6＋4＋7＋3＝55． 方法技巧 本例的数量关系比较复杂，利用Venn图分析，求解比较直观、清晰，当利用Venn图解决生活中的问题时，应先把生活中的问题转化成集合问题． 即时练3．设全集U＝{x∈N*|x≤9}，AU，BU，且A∩B＝{4，5}，∁UB∩A＝{1，2，3}，(∁UA)∩(∁UB)＝{6，7，8}，求集合A和B． 解析：　用韦恩图法求得： 集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{4，5，9}． 集合并、交、补集的综合运算 解决集合的混合运算问题时，一般先运算括号内的部分，如求(∁UA)∩B时，先求出∁UA，再求交集；求∁U(A∪B)时，先求出A∪B，再求补集．当集合是用列举法表示时(如数集)，可以通过列举集合的元素分别得到所求的集合；当集合是用描述法表示时(如不等式形式表示的集合)，则可运用数轴求解． 已知集合A＝{x|x2＋ax＋12b＝0}和B＝{x|x2－ax＋b＝0}，满足B∩(∁UA)＝{2}，A∩(∁UB)＝{4}，U＝R，求实数a，b的值． 解析：　∵B∩(∁UA)＝{2}，∴2∈B，但2∉A． ∵A∩(∁UB)＝{4}，∴4∈A，但4∉B． ∴解得 ∴a，b的值分别为，－． 已知全集U＝R，A＝{x|－4≤x<2}，B