9 第一章 3.2 第1课时　基本不等式(A)（教师用书）-2022-2023学年新教材高中数学必修第一册【正禾一本通】同步课堂高效讲义（北师大版2019）

3．2　基本不等式 第1课时　基本不等式(A) [学习目标]　1．掌握基本不等式的定义、证明方法和几何解释，提升数学抽象的核心素养．2．会用基本不等式解决简单问题，强化逻辑推理和数学运算的核心素养． 知识点一　基本不等式内容辨析 1．如果a≥0，b≥0，≤，当且仅当a＝b时，等号成立．这个不等式称为基本不等式，其中叫作a，b的算术平均值，叫作正数a，b的几何平均值．因此，基本不等式又称为均值不等式，也可以表述为：两个非负实数的算术平均值大于或等于它们的几何平均值． 2．变形：ab≤()2，a，b∈R，当且仅当a＝b时，等号成立． a＋b≥2，a，b都是正数，当且仅当a＝b时，等号成立． 下列结论正确的是(　　) A．若x∈R，且x≠0，则＋x≥4 B．当x>0时，＋≥2 C．当x≥2时，x＋的最小值为2 D．当a，b∈R时，＋≥2 B　[对于选项A，当x<0时，＋x≥4显然不成立；对于选项B，符合应用基本不等式的三个基本条件“一正，二定，三相等”；对于选项C，忽视了验证等号成立的条件，即x＝，则x＝±1，均不满足x≥2；对于选项D，当a，b异号时显然不成立．] 方法技巧 应用基本不等式时要注意以下三点 (1)各项或各因式均为正； (2)和或积为定值； (3)各项或各因式能取得相等的值．即“一正二定三相等”． 即时练1．(多选)已知正数a，b，则下列说法正确的是(　　) A．＋的最小值为2 B．(a＋b)(＋)≥4 C．≥2 D．> BC　[A选项：＋≥2，当且仅当＝1时等号成立，而≥，故“等号”不成立，A不正确； B选项：(a＋b)(＋)＝1＋1＋＋≥2＋2＝4，当且仅当a＝b时等号成立，故B正确； C选项：≥＝2，当且仅当a＝b时等号成立，故C正确； D选项：≤＝，当且仅当a＝b时等号成立，故D不正确． 故选BC．] 知识点二　直接利用基本不等式求最值 已知x，y均为是正数，下面的命题均成立． (1)若x＋y＝s(s为定值)，则当且仅当x＝y时，xy取得最大值； (2)若xy＝p(p为定值)，则当且仅当x＝y时，x＋y取得最小值2． (链接教材P28练习2)(1)当x>0时，求＋4x的最小值； (2)当0<x<3，则2x(3－x)的最大值； (3)已知4x＋(x>0，a>0)在x＝3时取得最小值，求a的值． 解析：　(1)∵x>0，∴>0，4x>0． ∴＋4x≥2＝8． 当且仅当＝4x，即x＝时取最小值8． ∴当x>0时，＋4x的最小值为8． (2)∵0<x<3，∴0<3－x<3， 2x(3－x)＝2·x(3－x)≤2()2＝， 当且仅当x＝3－x，即x＝时取等号． 所以2x(3－x)的最大值为． (3)4x＋≥2＝4， 当且仅当4x＝，即a＝4x2＝36时取等号， ∴a＝36． 方法技巧 在利用基本不等式求最值时要注意三点：一是各项均为正；二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求积式最大值时应使和为定值(恰当变形，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧)；三是考虑等号成立的条件是否具备． 即时练2．已知m>0，n>0，且m＋n－2＝0，则mn的最大值是(　　) A．1 B． C．3 D．5 D　[依题意m＋n＝2， 所以mn≤()2＝5，当且仅当m＝n＝时等号成立．故选D．] 即时练3．若x>0，则x＋＋2有(　　) A．最小值6 B．最小值8 C．最大值8 D．最大值3 B　[因为x>0，由基本不等式可得x＋＋2≥2＋2＝8， 当且仅当x＝3时，等号成立，所以，x>0时，则x＋＋2有最小值8．故选B．] 利用基本不等式证明不等式 利用基本不等式证明不等式时，首先要观察题中要证明的不等式的形式，若不能直接使用基本不等式证明，则考虑对代数式进行拆项、变形、配凑等，使之达到能使用基本不等式的条件；若题目中还有已知条件，则首先观察已知条件和所证不等式之间的联系，当已知条件中含有1时，要注意1的代换．另外，解题中要时刻注意等号能否取到． (链接教材P27例4)已知a>0，b>0，a2＋b2＝8． (1)求证：a＋b≤4； (2)求证： ≥． 证明：　(1)∵(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2≤a2＋a2＋b2＋b2＝2(a2＋b2)＝16，当且仅当a＝b＝2时，等号成立． ∴a＋b≤4． (2)＝＝≥＝＝．(当且仅当时等号成立)． 即时练4．已知a>0，b>0，c>0，求证a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca． 证明：　∵a2＋b2≥2ab，① b2＋c2≥2bc，② c2＋a2≥2ac，③ ①＋②＋③得：2a2＋2b2＋2c2≥2ab＋2bc＋2ac． ∴a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca(当且仅当a＝b＝c时等号成立)． 1．若m>0，n>0，mn＝81，则m＋n的最小值是(　　) A．4 B．4 C．