第三章 专题2 二项式定理的重要题型（教参Word）- 2022-2023学年高二新教材数学选择性必修第二册【勤径学升·同步练测】（人教B版）

专题2　二项式定理的重要题型 　　二项式定理的重要题型有：求二项展开式的特定项、求系数或二项式系数和以及实际应用等. 题型一　二项展开式的系数和问题 [例1]　在（2x－3y）10的展开式中,求： （1）二项式系数的和； （2）各项系数的和； （3）奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和； （4）奇数项系数和与偶数项系数和； （5）x的奇次项系数和与x的偶次项系数和. [解]　设（2x－3y）10＝a0x10＋a1x9y＋a2x8y2＋…＋a10y10,（*） 各项系数的和为a0＋a1＋…＋a10,奇数项系数和为a0＋a2＋…＋a10,偶数项系数和为a1＋a3＋a5＋…＋a9,x的奇次项系数和为a1＋a3＋a5＋…＋a9,x的偶次项系数和为a0＋a2＋a4＋…＋a10.由于（*）是恒等式,故可用“赋值法”求出相关的系数和. （1）二项式系数的和为＋＋…＋＝210. （2）令x＝y＝1,各项系数和为（2－3）10＝（－1）10＝1. （3）奇数项的二项式系数和为＋＋…＋＝29, 偶数项的二项式系数和为＋＋…＋＝29. （4）令x＝y＝1,得到a0＋a1＋a2＋…＋a10＝1,① 令x＝1,y＝－1（或x＝－1,y＝1）,得a0－a1＋a2－a3＋…＋a10＝510,② ①＋②,得2（a0＋a2＋…＋a10）＝1＋510,∴奇数项系数和为； ①－②,得2（a1＋a3＋…＋a9）＝1－510,∴偶数项系数和为. （5）x的奇次项系数和为a1＋a3＋a5＋…＋a9＝； x的偶次项系数和为a0＋a2＋a4＋…＋a10＝. 赋值法求系数和的应用技巧 （1）“赋值法”对形如（ax＋b）n,（ax2＋bx＋c）m（a,b∈R）的式子求其展开式的各项系数之和,常用赋值法,只需令x＝1即可；对形如（ax＋by）n（a,b∈R）的式子求其展开式各项系数之和,只需令x＝y＝1即可. （2）若f（x）＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn,则f（x）展开式中各项系数之和为f（1）,奇次项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝,偶次项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝,令x＝0,可得a0＝f（0）. 题型二　两个二项式的积与三项式问题 [例2]　（1）若（x＋a）2的展开式中常数项为－1,则a的值为 （　　） A.1 B.8 C.－1或－9 D.1或9 [解析]　∵（x＋a）2＝x2＋2ax＋a2,展开式的通项为Tr＋1＝（－1）r＝（－1）rxr－5, ∴（x＋a）2展开式的常数项为－＋2a－a2, ∴－＋2a－a2＝－1,解得a＝1或9. [答案]　D （2）（x2＋x＋y）5的展开式中x5y2的系数为 （　　） A.10 B.20 C.30 D.60 [解析]　方法一：（x2＋x＋y）5的展开式的通项为Tr＋1＝（x2＋x）5－r·yr,令r＝2,则T3＝（x2＋x）3y2.又（x2＋x）3的展开式的通项为（x2）3－k·xk＝x6－k,令6－k＝5,则k＝1,∴（x2＋x＋y）5的展开式中,x5y2的系数为＝30. 方法二：从5个x2＋x＋y中选2个,使其出y,再从3个x2＋x＋y中选2个,使其出x2,剩下的一个使其出x,则x5y2的系数为＝30. [答案]　C 两个二项式之积与三项式的展开式问题 （1）形如（a＋b）m（c＋d）n的展开式问题 ①若n,m中一个比较小,可考虑把它展开,如（a＋b）2·（c＋d）m＝（a2＋2ab＋b2）（c＋d）m,然后展开分别求解. ②观察（a＋b）n（c＋d）m是否可以合并,如（1＋x）5（1－x）7＝（1－x）2＝（1－x2）5（1－x）2. ③利用二项式展开式的原理综合考虑. （2）形如（a＋b＋c）n的展开式问题 求（a＋b＋c）n的某项式,关键是将其看作一个二项式,然后求解,再将通项中的二项式展开求解,合并同类项再求解即可或可利用展开式的原理求解. 章末优化提升 考点一　两个计数原理 [例1]　（1）某体育彩票规定：从01至36共36个号中选出7个作为一注,每注2元.某人想从01至10中选3个连续的号,从11至20中选2个连续的号,从21至30中选1个号,从31至36中选1个号组成一注,若这人想把满足这种特殊要求的号买全,则他要花的钱数为 （　　） A.3 360元 B.6 720元 C.4 320元 D.8 640元 [解析]　从01至10中选3个连续的号共有8种选法； 从11至20中选2个连续的号共有9种选法； 从21至30中选1个号共有10种选法； 从31至36中选1个号共有6种选法, 所以共有8×9×10×6＝4 320种选法,要花4 320×2＝8 640（元）. [答案]　D 学科网（北京）股份有限公司 $