第三章 专题1 计数问题的常用方法（教参Word）- 2022-2023学年高二新教材数学选择性必修第二册【勤径学升·同步练测】（人教B版）

专题1　计数问题的常用方法 　　有关计数问题在考试中经常直接和间接的考查,其命题常以实际问题为背景,考查排列组合的综合应用,如均分或不均分问题,特殊元素或位置问题、相邻或不相邻问题等.求解的策略是先组合后排列,同时按元素的性质分类或按事情的发生过程分步,必要时可构造模型,或画树形图求解. 题型一　“多面手”问题 [例1]　某外语组有9人,每人至少会英语和日语中的一门,其中7人会英语,3人会日语,从中选出会英语和日语的各一人到边远地区支教,有多少种不同的选法？ [解]　由题意,知有1人既会英语又会日语,6人只会英语,2人只会日语. 方法一　分两类. 第一类：从只会英语的6人中选1人教英语,有6种选法,则教日语的有2＋1＝3种选法.此时共有6×3＝18种选法. 第二类：从不只会英语的1人中选1人教英语,有1种选法,则选会日语的有2种选法,此时有1×2＝2种选法. 所以由分类加法计数原理知,共有18＋2＝20种选法. 方法二　设既会英语又会日语的人为甲,则甲有入选、不入选两类情形,入选后又要分两种：（1）教英语；（2）教日语. 第一类：甲入选. （1）甲教英语,再从只会日语的2人中选1人,由分步乘法计数原理,有1×2＝2种选法； （2）甲教日语,再从只会英语的6人中选1人,由分步乘法计数原理,有1×6＝6种选法. 故甲入选的不同选法共有2＋6＝8（种）. 第二类：甲不入选.可分两步. 第一步,从只会英语的6人中选1人,有6种选法；第二步,从只会日语的2人中选1人,有2种选法.由分步乘法计数原理,有6×2＝12种不同的选法. 综上,共有8＋12＝20种不同的选法. 　　用流程图描述计数问题,类中有步的情形如图所示 具体意义如下： 从A到B算作一件事的完成,完成这件事有两类办法,在第1类办法中有3步,在第2类办法中有2步,每步的方法数如图所示. 所以,完成这件事的方法数为m1m2m3＋m4m5,“类”与“步”可进一步地理解为： “类”用“＋”号连接,“步”用“×”号连接,“类”独立,“步”连续,“类”标志一件事的完成,“步”缺一不可. 题型二　“相邻”与“不相邻”问题 [例2]　（1）某单位计划安排6名志愿者在人民路上相邻的6个十字路口进行“创建文明城市”的宣传活动,每个路口安排一名志愿者,则甲、乙两名志愿者必须在相邻两个路口,丙不在第一个和最后一个路口的安排方式共有　　　　种.  [解析]　当甲、乙两名志愿者必须在相邻两个路口时,利用“捆绑法”,将甲、乙两名志愿者看作一个整体,再与其余四名志愿者全排列,一共有＝240种不同的安排方式.当甲、乙两名志愿者必须在相邻两个路口,且丙在第一个或最后一个路口时,一共有＝96 种不同的安排方式.故所求安排方式一共有－＝240－96＝144（种）. [答案]　144 （2）4个男生与3个女生站成一排照相,则男生和女生互相间隔排列的方法有　　　　种.  [解析]　先将4个男生全排列有 ＝24种排法,4个男生中间共有三个空位,女生在男生中间的三个空位全排列共有＝6种排法,所以男生和女生互相间隔排列的方法有24×6＝144（种）. [答案]　144 　　解排列组合问题时常以元素（或位置）为主体,即先考虑特殊元素（或位置）,再考虑其他元素（或位置）.对于排列组合的综合题目,一般是先取出符合要求的元素,再对取出的元素进行排列. 题型三　含有“至多”“至少”的问题 [例3]　某校举办诗歌朗诵比赛,该校高三年级准备从包括甲、乙、丙在内的7名学生中选派4名学生参加,要求甲、乙、丙这3名学生中至少有1人参加,且当这3名学生都参加时,甲和乙的朗诵顺序不能相邻,那么选派的4名学生不同的朗诵顺序的种数为 （　　） A.720种 B.768种 C.810种 D.816种 [解析]　根据题意,在7名学生中选派4名学生参加诗歌朗诵比赛,有＝840种情况,其中甲、乙、丙都没有参加,即选派其他四人参加的情况有＝24（种）,则甲、乙、丙这3名学生中至少有1人参加的情况有840－24＝816（种）；其中当甲、乙、丙都参加且甲和乙相邻的情况有＝48（种）,则满足题意的朗诵顺序有816－48＝768（种）.故选B. [答案]　B 求解含有附加条件的计数问题的两种方法 　　通常选用直接法或间接法,解题时应注意对“至少”“至多”“恰好”等词的含义的理解.对于涉及“至少”“至多”等词的计数问题,既可以从反面情形考虑,即间接求解,也可以通过分类讨论直接求解. 题型四　分组分配问题 [例4]　某省示范性高中安排5名教师去A,B,C 三所乡村中学支教,每所中学至少去1人,因工作需要,其中的教师甲不能去A中学,则分配方案的种数为　　　　.（用数字作答）  [解析]　①若三所学校分配人数分别为1,1,3时,共有·＝60种安排方法, 其中甲去A中学的安排