第三章 排列、组合与二项式定理 章末优化提升（教参Word）- 2022-2023学年高二新教材数学选择性必修第二册【勤径学升·同步练测】（人教B版）

两个二项式之积与三项式的展开式问题 （1）形如（a＋b）m（c＋d）n的展开式问题 ①若n,m中一个比较小,可考虑把它展开,如（a＋b）2·（c＋d）m＝（a2＋2ab＋b2）（c＋d）m,然后展开分别求解. ②观察（a＋b）n（c＋d）m是否可以合并,如（1＋x）5（1－x）7＝（1－x）2＝（1－x2）5（1－x）2. ③利用二项式展开式的原理综合考虑. （2）形如（a＋b＋c）n的展开式问题 求（a＋b＋c）n的某项式,关键是将其看作一个二项式,然后求解,再将通项中的二项式展开求解,合并同类项再求解即可或可利用展开式的原理求解. 章末优化提升 考点一　两个计数原理 [例1]　（1）某体育彩票规定：从01至36共36个号中选出7个作为一注,每注2元.某人想从01至10中选3个连续的号,从11至20中选2个连续的号,从21至30中选1个号,从31至36中选1个号组成一注,若这人想把满足这种特殊要求的号买全,则他要花的钱数为 （　　） A.3 360元 B.6 720元 C.4 320元 D.8 640元 [解析]　从01至10中选3个连续的号共有8种选法； 从11至20中选2个连续的号共有9种选法； 从21至30中选1个号共有10种选法； 从31至36中选1个号共有6种选法, 所以共有8×9×10×6＝4 320种选法,要花4 320×2＝8 640（元）. [答案]　D （2）某景区内有如图所示的一个花坛,此花坛有9个区域需栽种植物,要求同一区域内种同一种植物,相邻的两块种不同的植物,且圆环的3个区域种植绿色植物,中间的6个扇形区域种植鲜花.现有3种不同的绿色植物和3种不同的鲜花可供选择,则不同的栽种方案共有 （　　） A.400种 B.396种 C.380种 D.324种 [解析]　圆环的3个区域种植绿色植物共有＝6（种）.如图.中间的6个区域种植鲜花可分为3类： 第一类,A,C,E均种相同植物,有N1＝3×2×2×2＝24（种）； 第二类,A,C,E种2种不同植物,有N2＝××2×1×1＝36（种）； 第三类,A,C,E种的植物各不相同,有N3＝×1×1×1＝6（种）. 故由乘法原理和加法原理得到不同的栽种方案共有6×（24＋36＋6）＝396（种）. [答案]　B 应用两个计数原理计数的四个步骤 （1）明确完成的这件事是什么. （2）思考如何完成这件事. （3）判断它属于分类还是分步,是先分类后分步,还是先分步后分类. （4）选择计数原理进行计算. 1.已知某超市为顾客提供四种结账方式：现金、支付宝、微信、银联卡.若顾客甲只会用现金结账,顾客乙只会用现金和银联卡结账,顾客丙与甲、乙结账方式不同,丁用哪种结账方式都可以,若甲乙丙丁购物后依次结账,则他们结账方式的组合种数共有 （　　） A.36种 B.30种 C.24种 D.20种 解析　当乙用现金结算时,此时甲和乙都用现金结算,所以丙有3种方法,丁有4种方法,共有3×4＝12种方法；当乙用银联卡结算时,此时甲用现金结算,丙有2种方法,丁有4种方法,共有2×4＝8种方法.综上,共有12＋8＝20种方法. 答案　D 2.古人用天干、地支来表示年、月、日、时的次序.用天干的“甲、丙、戊、庚、壬”和地支的“子、寅、辰、午、申、戌”相配,用天干的“乙、丁、己、辛、癸”和地支的“丑、卯、巳、未、酉、亥”相配,共可配成　　　　组.  解析　分两类：第一类,用天干的“甲、丙、戊、庚、壬”和地支的“子、寅、辰、午、申、戌”相配, 则有5×6＝30组不同的结果. 第二类,用天干的“乙、丁、己、辛、癸”和地支的“丑、卯、巳、未、酉、亥”相配, 则有5×6＝30组不同的结果. 共可得到30＋30＝60（组）. 答案　60 考点二　排列与组合的综合应用 [例2]　在高三（1）班元旦晚会上,有6个演唱节目,4个舞蹈节目. （1）当4个舞蹈节目要排在一起时,有多少种不同的节目安排顺序？ （2）当要求每2个舞蹈节目之间至少安排1个演唱节目时,有多少种不同的节目安排顺序？ （3）若已定好节目单,后来情况有变,需加上诗朗诵和快板2个节目,但不能改变原来节目的相对顺序,有多少种不同的节目演出顺序？ [解]　（1）第一步先将4个舞蹈节目捆绑起来,看成1个节目,与6个演唱节目一起排,有＝5 040种方法；第二步再松绑,给4个舞蹈节目排序,有＝24种方法. 根据分步乘法计数原理,一共有5 040×24＝120 960种安排顺序. （2）第一步将6个演唱节目排成一列（如图中的“□”）,一共有＝720种方法； ×□×□×□×□×□×□× 第二步再将4个舞蹈节目排在一头一尾或两个节目中间（即图中“×”的位置）,这样相当于7个“×”选4个来排,一共有＝840种方法. 根据分步乘法计数原理,一共有720×840＝60