1．5．2　全称量词与存在量词的否定（教师用书）-2022-2023学年新教材高中数学必修第一册【正禾一本通】同步课堂高效讲义（人教A版2019）

1.5.2　全称量词命题与存在量词命题的否定 　知识探究区——注重知识生成过程 知识点一　 命题的否定 【情境导入】 观察下列两个命题：①6是3的倍数；②6不是3的倍数. 问题：(1)它们之间有什么关系？ (2)两个命题的真假如何？ 提示：(1)命题②是命题①的否定． (2)命题①是真命题，命题②是假命题． 【知识概括】 一般地，对一个命题进行否定，就可以得到一个新的命题，这一新命题称为原命题的否定． 【要点解读】 (1)命题的否定也是一个命题，记作“¬p”，读作“非p”或“p的否定”； (2)一个命题和它的否定不能同时为真命题，也不能同时为假命题，只能一真一假． (3)从集合角度理解命题的否定，相当于集合的“补集”．设命题p：已知全集U，x∈A，则¬p⇔x∈U且x∉A⇔ x∈∁UA. [示例]　1.已知a、b、c、d是实数，若a＝b，c＝d，则a＋c＝b＋d命题的否定为________________________． 若a＝b，c＝d，则a＋c≠b＋d　解析：由题可知，该命题的否定为若a＝b，c＝d，则a＋c≠b＋d. [对点练]　1.命题“在△ABC中，若A>B，则a>b”的否定形式是_________________________． 在△ABC中，若A>B，则a≤b　解析：由题意得命题“在△ABC中，若A>B，则a>b”的否定形式是“在△ABC中，若A>B，则a≤b”． 知识点二　含有一个量词的命题的否定 【情境导入】 命题p：存在整数是自然数. 问题：(1)这是个存在量词命题吗？ (2)写出命题p的否定； (3)命题p的否定是含有什么量词的命题？ 提示：(1)是存在量词命题； (2)p的否定：不存在整数是自然数． (3)p的否定也可表述为“每一个整数都不是自然数”，是全称量词命题． 【知识概括】 (1)全称量词命题：∀x∈M，p(x)，它的否定：∃x∈M，綈p(x)． (2)存在量词命题：∃x∈M，p(x)，它的否定：∀x∈M，綈p(x)． 【要点解读】 (1)存在量词命题的否定是全称量词命题，全称量词命题的否定是存在量词命题． (2)有些全称量词命题省略了量词，在这种情况下，千万不要将否定写成“是”或“不是”． (3)否定命题时，要注意特殊的词，如“全”“都”等． (4)只有“存在”一词是量词的时候，它的否定才是“任意”，当“存在”一词不是量词时，它的否定是“不存在”．例如：“三角形存在外接圆”是全称量词命题，量词“所有的”被省略了，所以这个命题的否定是“有些三角形不存在外接圆”． [示例]　2.(教材P29例3改编)已知命题p：∀x∈，sin x>cos x，则命题p的否定为(　　 ) A．∀x∉，sin x>cos x B．∀x∉，sin x≤cos x C．∃x∈，sin x>cos x D．∃x∈，sin x≤cos x D　解析：命题p：∀x∈，sin x>cos x是全称命题，故其否定命题为：∃x∈，sin x≤cos x. [对点练]　2.命题“∃x<0，x2＋2x－m>0”的否定是(　　 ) A．∀x≥0，x2＋2x－m≤0 B．∃x≥0，x2＋2x－m≤0 C．∀x<0，x2＋2x－m≤0 D．∃x<0，x2＋2x－m≤0 C　解析：由题意知，命题“∃x<0，x2＋2x－m>0”的否定是“∀x<0，x2＋2x－m≤0”． 　能力提升区——注重题型技法阐释 　　　　　　　　　　　　　　　　 题型一　　命题的否定 关键词的否定 ¬p是对命题p的全盘否定，其命题的真假与原命题相反，对一些词语的正确否定是写¬p的关键，如“都”的否定是“不都”，“至多两个”的反面是“至少三个”等． [例1]写出下列命题的否定形式，并判断其真假． (1)p：面积相等的三角形都是全等三角形； (2)p：若m2＋n2＝0，则实数m，n全为零； (3)p：实数a，b，c满足abc＝0，则a，b，c中至少有一个为0. 解：(1)¬p：面积相等的三角形不都是全等三角形．真命题． (2)¬p：若m2＋n2＝0，则实数m，n不全为零．假命题． (3)¬p：实数a，b，c满足abc＝0，则a，b，c中都不为0.假命题． [即时练]　1.命题“若x2－2x－3＝0，x＝3或x＝－1”的否定是(　　 ) A．若x2－2x－3≠0，x≠3或x≠－1 B．若x2－2x－3≠0，x≠3且x≠－1 C．若x2－2x－3＝0，x≠3或x≠－1 D．若x2－2x－3＝0，x≠3且x≠－1 D　解析：因为结论为“x＝3或x＝－1”，其否定为“x≠3且x≠－1”， 所以原命题的否定是“若x2－2x－3＝0，x≠3且x≠－1”． 2．命题“自然数a、b、c中恰有一个为偶数”的否定可以是(　　 ) A．自然数a、b、c都是奇数 B．自然数a、b、c都是