第五章 5．6　函数y＝A sin (ωx＋φ )-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（人教A版2019）

5．6　函数y＝A sin (ωx＋φ)　　　 ► 对应学生用书P141 [课程标准]　1.结合具体实例，了解y＝A sin (ωx＋φ)的实际意义．　2.能借助图象理解参数ω，φ，A的意义，了解参数的变化对函数图象的影响． 　高效导学第一步　预习教材新知，落实必备知识 一、参数 A, ω， φ 对函数y＝A sin (ωx＋φ)的影响 1．φ对y＝sin (x＋φ)图象的影响 把y＝sin x图象上的所有点向左(当φ>0时)或_向右(当φ<0时)平移|φ|个单位长度，就得到函数y＝sin (x＋φ)的图象． 2．ω(ω>0)对y＝sin (ωx＋φ)图象的影响 把函数y＝sin (x＋φ)图象上所有点的横坐标缩短(当ω>1时)或伸长(当0<ω<1时)到原来的倍(纵坐标不变)，就得到y＝sin (ωx＋φ)的图象． 3．A(A>0)对y＝A sin (ωx＋φ)图象的影响 把y＝sin (ωx＋φ)图象上所有点的纵坐标伸长(当A>1时)或缩短(当0<A<1时)到原来的A倍(横坐标不变)，就得到y＝A sin (ωx＋φ)的图象． 记一记：(1)参数 A, ω， φ 使函数y＝sin x的图象变换为函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象，分别叫做振幅变换，周期变换和相位变换． (2)左右平移是对x本身而言的，如果x前面的系数不是1，应提取系数，然后进行左右平移． (3)|A|的大小反映了曲线y＝A sin (ωx＋φ)波动幅度的大小． 若A＞0，则函数y＝A sin (ωx＋φ)的值域是[－A，A]，最大值是A，最小值是－A；若A<0，则函数y＝A sin (ωx＋φ)的值域是[A，－A]，最大值是－A，最小值是A. 二、五点法作y＝A sin (ωx＋φ)的图象 1．利用“五点法”作函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)的图象，实质是利用函数的三个零点、两个最值点画出函数在一个周期内的图象． 2．取值时，需令ωx＋φ＝0，，π，，2π，才能得到五个特征点，即两个最值点和三个零点． 【基点小试】 1．为了得到y＝sin 的图象只需将函数y＝cos x的图象______________________而得到． 解析：y＝sin ＝cos ＝cos ＝cos，只需把y＝cos x的图象向右平移个单位长度即得到y＝sin 的图象． 答案：向右平移个单位长度 2．利用“五点法”作函数y＝sin 2x，x∈[0，2π]的图象时，所取的五点的横坐标为____________________． 答案：0，，，，π 　高效导学第二步　课堂互动探究，培优关键能力 题型一　五点法作函数y＝A sin (ωx＋φ)图象 例1.用“五点法”作出函数y＝2sin (＋)的图象． 解：令t＝＋，列表如下： x － t 0 π 2π y 0 2 0 －2 0 描点连线并向左右两边分别扩展，得到如图所示的函数图象： [总结] 　用“五点法”作函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)图象的步骤 第一步：列表 ωx＋φ 0 π 2π x － － － － － y 0 A 0 －A 0 第二步：在同一坐标系中描出各点． 第三步：用光滑曲线连接这些点，形成图象． 【练一练】 1．利用“五点法”作出函数y＝sin (2x－)在一个周期(闭区间)上的简图． 解析：第一步：列表 x 2x－ 0 π 2π sin (2x－) 0 1 0 －1 0 y 0 0 － 0 第二步：描点． 第三步：连线画出图象如图所示： 题型二　函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象 角度1　图象变换问题 例2.指出将y＝sin x的图象变换为y＝sin 的图象的两种方法． 解：法一(先伸缩后平移)　y＝sin x y＝sin ＝sin . 法二(先平移后伸缩)　y＝sin x y＝sin . [总结] 　函数y＝sin x的图象经变换得到y＝A sin (ωx＋φ)的图象的步骤 角度2　由图象求函数解析式 例3.如图是函数y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的图象的一部分，求此函数的解析式． 解：法一(逐一定参法)　由图象知A＝3， T＝－＝π， ∴ω＝＝2， ∴y＝3sin (2x＋φ). ∵点在函数图象上， ∴0＝3sin . ∴－×2＋φ＝kπ，k∈Z，得φ＝＋kπ(k∈Z). ∵|φ|<，∴φ＝. ∴y＝3sin . 法二(待定系数法)　由图象知A＝3. ∵图象过点(，0)和(，0)， ∴解得 ∴y＝3sin . 法三(图象变换法)　由A＝3，T＝π，点(－，0)在图象上， 可知函数图象由y＝3sin 2x向左平移个单