课程阶段总结(一)　集合与常用逻辑用语（教师用书）-2022-2023学年新教材高中数学必修第一册【正禾一本通】同步课堂高效讲义（人教A版2019）

课程阶段总结(一)　集合与常用逻辑用语 　知识体系建构·关键理清 　高频考点聚焦·整合提升 考点一 | 集合的交、并、补运算 集合的运算主要包括交集、并集和补集运算，这也是高考对集合部分的主要考查点，有些题目比较简单，直接根据集合运算的定义可得，有些题目与解不等式或方程相结合，需要先正确求解不等式或方程，再进行集合运算，还有的集合问题比较抽象，解题时需借助Venn图进行数形分析或利用数轴等，采用数形结合思想方法，可使问题直观化、形象化，进而能使问题简捷、准确地获解． [例1]已知全集U＝{0，1，2，3，4，5，6}，集合A＝{x∈N|1<x≤4}，B＝{x∈R|x2－3x＋2＝0}． (1)用列举法表示集合A与B； (2)求A∩B及∁U(A∪B)． 解析：(1)由题知，A＝{2，3，4}， B＝{x∈R|(x－1)(x－2)＝0}＝{1，2}． (2)由题知，A∩B＝{2}，A∪B＝{1，2，3，4}， 所以∁U(A∪B)＝{0，5，6}． [例2](2022·浙江杭州高一检测)已知全集U＝R，集合A＝，B＝{x|x>2或x<－3}，则A∩＝___________． {x|1<x≤2}　解析：因为全集U＝R，B＝{x|x>2或x<－3}，所以∁UB＝， 又A＝，所以A∩∁UB＝{x|1<x≤2}． [即时练]　1.(2022·山西大同高一检测)设U＝，A＝，B＝{x|x≤－6或， 求：(1)A∩B； (2)∪B，∁U. 解：(1)因为A＝，B＝{x|x≤－6或， 所以A∩B＝. (2)∁UA＝或，所以∪B＝或10≥， A∪B＝{x|x≤－6或， 所以∁U＝. 考点二 | 集合关系与运算中的参数问题 根据集合间关系求参数范围时，要深刻理解子集的概念，把形如A⊆B的问题转化为AB或A＝B，进而列出不等式组，使问题得以解决．在建立不等式过程中，可借助数轴以形促数，化抽象为具体．要注意作图准确，分类全面． [例3]已知集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|a≤x≤a＋3}． (1)若(∁RA)∪B＝R，求a的取值范围； (2)是否存在实数a使(∁RA)∪B＝R且A∩B＝∅. 解：(1)A＝{x|0≤x≤2}， ∴∁RA＝{x|x<0或x>2}， ∵(∁RA)∪B＝R(如图)， ∴ ∴－1≤a≤0. (2)由(1)知(∁RA)∪B＝R时，－1≤a≤0，而2≤a＋3≤3， ∴A⊆B，这与A∩B＝∅矛盾，即这样的实数a不存在． [即时练]　2.(2022·山东济南高一期末)已知集合A＝，集合B＝或，全集U＝R. (1)若a＝1，求∪B； (2)若AB，求实数a的取值范围． 解：(1)当a＝1时，A＝，所以∁UA＝∪， 则∪B＝∪； (2)因为AB，所以满足a＋2<－1或a>5，解得a∈∪， 所以实数a的取值范围是∪. 考点三 | 充分条件与必要条件 本考点经常考查利用充分条件和必要条件求参数的取值范围问题．主要是根据集合间的包含关系与充分条件和必要条件的关系，将问题转化为集合之间的关系，建立关于参数的不等式或不等式组求解． [例4]已知p：x－2>0，q：ax－4>0，其中a∈R且a≠0. (1)若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围； (2)若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围． 解：(1)设命题p对应的集合为A＝{x|x－2>0}，即A＝{x|x>2}，命题q对应的集合为B＝{x|ax－4>0}． 因为p是q的充分不必要条件，所以AB，即解得a>2，故实数a的取值范围为{a|a>2}． (2)因为p是q的必要不充分条件，所以由(1)知BA. ①当a>0时，由BA，得>2，得0<a<2； ②当a<0时，则<0，B＝{x|ax－4>0}＝，不满足题意． 综上，实数a的取值范围为{a|0<a<2}． [即时练]　3.已知集合A＝{x∈R|2x＋m<0}，B＝{x∈R|x<－1或x>3}． (1)是否存在实数m，使得x∈A是x∈B成立的充分条件？ (2)是否存在实数m，使得x∈A是x∈B成立的必要条件？ 解析：(1)欲使x∈A是x∈B成立的充分条件，则只要⊆{x|x<－1或x>3}，则只要－≤－1，即m≥2， 故存在实数m≥2时使x∈A是x∈B成立的充分条件． (2)欲使x∈A是x∈B成立的必要条件，则只要⊇{x|x<－1或x>3}，这是不可能的，故不存在实数m，使x∈A是x∈B成立的必要条件． 考点四 | 全称量词与存在量词 本考点题型多为选择题或填空题，难度较小．主要有以下命题角度：(1)判断全称量词命题、存在量词命题的真假；(2)写出全称量词命题、存在量词命题的否定；(3)已知全称量词命题、存在量词命题的真假求参数的取值范围． [例5](2022·河南南阳高一检测)命题“∀1≤x≤2，x2－2a≤0”是真命