5.3.1函数的单调性（基础知识+基本题型）（含解析）-【一堂好课】2022-2023学年高二数学同步名师重点课堂（人教A版2019选择性必修第二册）

5.3.1函数的单调性 （基础知识+基本题型） 知识点一 函数的单调性与其导数之间的关系 在某个区间内，如果，那么函数在这个区间内单调递增；如果，那么函数在这个区间内单调递减；如果恒有，那么函数为常函数． 提示 利用导数的符号判断函数的单调性是导数的几何意义在研究曲线变化规律时的一个应用，它充分体现了数形结合的数学思想． 拓展 （1）当切线的斜率非负时，切线的倾斜角小于90°，曲线呈向上递增状态；当切线的斜率负时，切线的倾斜角大于90°，且小于180°，曲线呈向下递减状态，这就是说导数看正负，函数看增减． （2）对于可导函数来说，是在内为增函数的充分不必要条件；是在内为减函数的充分不必要条件，如在上为增函数，而，故在处不满足． （3）若函数在内存在导函数，且是单调递增（减）的，则对一切都有（），且在任一子区间内不恒为零． 知识点二 利用导数判断函数单调性的步骤 利用导数判断函数的单调性的一般步骤： （1）确定函数的定义域； （2）求导函数； （3）解不等式或； （4）结合定义域写出函数的单调区间． 提示 求函数的单调区间需注意的问题： （1）利用导数求函数的单调区间，首先要确定函数的定义域（注意：只能在定义域范围内解决问题），然后通过讨论导数的符号来求函数的单调区间． （2）如果求得的单调递增（减）区间是由几个小区间构成的，那么它们之间不能用“”连接，只能用“，”隔开或“和”连接． （3）由于在某个孤立点上不讨论函数的单调性，故单调区间可以是开区间，如果区间端点在定义域内，也可以写成闭区间． 考点一 判断函数的单调性 例1　求函数的单调区间． 解：的定义域是． ，当时，令，解得或； 令，解得或； 当时，恒成立． 所以当时，的单调递增区间为和；单调递减区间为和． 当时，的单调递增区间为和． （1）求单调区间时要结合定义域，单调区间是定义域的子集； （2）求含参数的函数的单调区间时，要分类讨论． 例2 讨论函数的单调性． 解：方法1（定义法）：的定义域为．设，且． 则 ． 当时，因为，所以． 又因为，，所以，即． 当时，因为，所以． 又因为，，所以，即． 所以当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减． 方法2（导数法）：，且的定义域为． 因为， 所以当时，，，，所以，所以在上单调递增． 当时，，，，所以，所以在上单调递减． （1）判断函数单调性的常用方法有定义法、图象法、导数法等．可以看出，导数法判断函数的单调性更为简单，尤其是对计算比较繁琐的对数型函数和指数型函数． （2）在判断含参数的函数的单调性时，要注意进行分类讨论． 考点二 已知函数的单调性求参数的取值范围 例3 已知关于的函数． （1）若函数在内是增函数，求的取值范围； （2）若函数的一个单调递增区间为，求的值． 分析：解决本题的关键是理解“在内是增函数”与“一个单调递增区间为”的本质． 解：． （1）若函数在内是增函数， 则在时恒成立， 即在时恒成立， 则． 因为，所以． 所以，即的取值范围是． （2）令，得． 若，则恒成立，即恒成立， 此时，函数在上是增函数，与题意不符． 若，令，得或． 因为是函数的一个单调递增区间，所以，即． 已知函数的单调性求参数取值范围的问题常转化为恒成立问题．函数在区间内单调递增（减），可先等价转化为不等式（）在区间内恒成立，在借助分离参数法求得参数的取值范围． 考点三 利用导数证明不等式问题 例4 求证：当，且时，． 分析：利用导数来证明不等式问题，可以先构造函数，再证明当时，恒成立． 证明：设， 则． 因为， 所以． 所以在内是增函数． 所以的最小值为． 所以当，且时，， 即恒成立． 故当，且时，成立． 利用导数证明此类不等式，可以作不等式两边的差构造函数．因此，要证不等式成立，只需证在其定义域内恒成立即可． 考点四 可导抽象函数的单调性问题 例5 设，是定义域为的恒大于零的可导函数，且，则当时，有（ ） A． B． C． D． 解析：因为，所以在上为减函数． 又因为，所以． 所以由，且，在上恒大于零，得． 答案：C 总结：抽象函数问题是高中数学的一个难点，解决此类问题的关键是紧扣定义合理转化，联想常用模型． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $