5.3.2函数的最大（小）值第二课时教学设计-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

课题 5.3.2 函数的最大（小）值(第 2 课时) 一、教学内容 用导数判断函数的单调性，运用导数求函数的极值与最大（小）值的应用。 二、教学目标 1.熟练掌握运用导数求函数的单调区间，求函数的极值与最大（小）值； 2.学会用导数解决数学中的函数问题和生产生活中的最优化问题。 三、教学重点与难点 重点熟练运用导数判断函数的单调性并求函数的极值与最大（小）值 及相关应用； 难点将函数中相关问题，生产生活中的问题的解决转化为单调性和极 值最值问题的解决。 四、教学过程设计 1.知识回顾 问题 1 我们前两节课学习了哪些内容？ 预设 学习了用导数去判断函数的单调性，并求出函数的单调区间，根 据函数的单调性求函数的极值和最大（小）值； 设计意图 带领学生复习回顾最值与极值的区别与联系，知道可以利用 最值法进行不等式的证明. 问题 2 请判断函数f(x) = (x + 1)ⅇx的单调性,并求出f(x)的极值； 预设 解⑴函数的定义域为R. f'(x) = (x + 1)'ex + (x + 1)(ⅇx)' 1 · ex + (x + 1)ex · (x + 2)ex 令f'(x) = 0，解得x =- 2. f'(x)，f(x)的变化情况如表 5.3-4 所示. 表 5.3-4 x - 2 - 0 + 单调递减 单调递增 所以，在区间( - ∞, - 2) 上单调递减，在区间( - 2, + ∞)上单调递增. 当时，f(x)有极小值. 设计意图 熟悉用导数求单调区间和极值最值，为后面的应用作准备. 2.能力深化 问题 3 画出函数f(x) = (x + 1)ⅇx的大致图像吗？ 追问 1 要想画出图像，我需要知道该函数的哪些性质和特点？ 预设 需要知道该函数的单调性，奇偶性，极值点、最值点等特殊点 及变化趋势. 追问 2 问题 2 中，我们已经判断出了函数的单调性并求出了函数的 单调区间，同时也求出了该函数的极值和极值点，还需要求出什么？ 预设 还需要求出该函数经过的特殊点和变化趋势. 令，解得. 当时，；当x >- 1时，f(x) > 0. 所以，的图象经过特殊点A(- 2, - ⅇ12)，B( - 1, 0),C(0, 1).当时，与 2 一次函数相比，指数函数y = ⅇ - x呈爆炸性增长，从而f(x) = x + 1→0； ⅇ - x 当x→ + ∞时，，f'(x)→ + ∞. 根据以上信息,我们画出f(x)的大致图象如图 5.3-17 所示. y -2 -1 1 x O 1 -1 图 5.3-17 设计意图 教会学生用导数研究函数的单调性，极值等性质以及画函 数大致图像的问题，并由画图过程提炼出函数作图的基本步骤，理清这些 步骤与求函数单调区间，求函数极值等问题的步骤之间的联系. 问题 4 你能求出方程的解的个数吗？ 追问 1 你觉得应该怎么去求？直接解这个方程可以吗？ 预设 用现有的解方程的知识解决不了. 追问 2 如何转化呢？ 预设 方程的解的个数为函数y = f(x)的图像与直线y = a的 交点个数. 由（1）及图 5.3-17 可得，当x =- 2时，f(x)有最小值f( - 2) = - 1 . ⅇ2 所以,关于方程f(x) = a(a ∈ R)的解的个数有如下结论 当时，解为 0 个； 3 当a =- 1 或a ≥ 0时，解为 1 个；当 - 1 <a <0 时，解为 2 个. ⅇ2 e2 设计意图 让学生联系零点存在性定理，从而带领学生得到以下阶段 小结. 阶段小结 由例 7 可见，函数f(x)的图象直观地反映了函数f(x)的性质. 通常，可以按如下步骤画出函数f(x)的大致图象 （1）求出函数f(x)的定义域； （2）求导数f'(x)及函数f'(x)的零点； （3）用f'(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f'(x)在各 区间上的正负，并得出f(x)的单调性与极值； （4）确定f(x)的图象所经过的一些特殊点，以及图象的变化趋势； （5）画出f(x)的大致图象. 设计意图 及时的阶段小结，让问题明确化，过程系统化，方法条理化， 提高解决问题的能力. 问题 5 我们还能运用导数解决函数中的哪些问题呢？ 例 1 利用函数的单调性，证明不等式 ex ³ 1+x . 追问 如何转化？ 预设 要证 ex ³ 1+x ，只要证 ex - x - 1 ³ 0 ，即证 f (x) =ex - x - 1 ³ 0 ， 只要证 fmin (x) ³ 0 追问 本题转化为了什么问题？ 预设 函数求最值问题. · f (x) =ex - x - 1 设计意图 让学生体会常见的数学问题的转化路径，培养转化与化归 的能力. 3.实际问题 4 引导语下面我们通过实例介绍导数在解决实际问题中的应用. 问题 6 饮料瓶大小对饮料公司利润的影响 （1）你是否注意过，市场上等量的小包装的物品般比大包装的要贵 些？你想从数学上知道它的道理吗？ （2）是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大? 例 2 某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料.瓶子的制造成本是 分，其中r（单位 cm）是瓶子的半径.已知每出售 1mL 的饮料，制造商可获利 0.2 分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为 6 cm. ⑴瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？ ⑵瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小？ 追问 实际生活中的问题，我们如何处理？ 预设 转化为数学问题. 追问 转化为数学中的什么问题？ 预设 转化为函数求最值问题，从而用导数来解决. 解由题意可知，每瓶饮料的利润是 3 y = f(r) = 0.2 × 43πr3 - 0.8πr2 = 0.8π(r3 - r2),0 < r ≤ 6. 所以 令f'(r) = 0，解得. 当时，；当r ∈ (2 , 6)时，. 因此，当半径r > 2时，f'(r) > 0. f(r)单调递增，即半径越大，利润越高；当半 径r < 2时，f'(r) < 0， 单调递减，即半径越大，利润越低. ⑴半径为 6 cm 时，利润最大. ⑵半径为 2 cm 时，利润最小，这时f(2) < 0，表示此种瓶内饮料的利润 还不够瓶子的成本，此时利润是负值. 5 换一个角度如果我们不用导数工具，直接从函数f(r)的图象(图 5.3-18)上观察，你有什么发现？ y O 1 2 3 r 图 5.3-18 从图象上容易看出，当时，f(3) = 0，即瓶子的半径是 3 cm 时，饮料的利润与饮料瓶的成本恰好相等；当r > 3时，利润才为正值. 当r ∈ (0 , 2)时，f(r)是减函数，你能解释它的实际意义吗? 通过此问题的解决，我们很容易回答开始时的问题，请同学们自己作出回答. 设计意图 意在通过实例介绍导数在解决实际问题中的应用,数学学习的最终目 的是用于生活，服务于生活，解决生活中的问题. 4.课堂练习 ⑴利用函数的单调性，证明下列不等式，并通过函数图象直观验证 sin x < x, x ∈ (0, π). ⑵如图，用铁丝围成一个上面是半圆，下面是矩形的图形，其面积为a m2. 为使所用材料最省，圆的直径应为多少？ 设计意图 让学生学会运用函数求导的方法解决 6 生活中的优化问题. 5.课堂小结 问题 7 通过本节课的学习，你有哪些收获？ (1)知识内容方面 （2）技能方法方面 （3）思想态度方面 师生活动 由学生独立进行思考，适当交流后，师生共同总结. 本节课我们回顾了用导数判断函数的单调性，求函数的极值和最值， 同时解决了函数中的其他问题（方程的根的问题、图像及图像交点问题， 不等式问题），并学习了如何用导数解决实际生活中的最值问题. 设计意图 通过回顾归纳本节课所学，让孩子们有一个清晰的逻辑知 识链，对整个解决问题的方法有个系统的认知，培养逻辑推理能力，转化 与化归能力. 6.作业设计，目标检测 习题 5.3 综合运用第 12（2）；综合运用第 8 题；拓广探索第 13 题.设计意图 不同题型对知识有不同要求，让学生根据自己所掌握知识学会解决问题，体会用导数解决问题的方法.体现学以致用的观念，消除学 生学生学无所用的思想顾虑.而第 13 题则是对学有余力的同学提出了要 求，因材施教. 7.目标检测设计 A 组 1.函数 f (x)=x3 +ax2 - (3 +2a)x +1 在 x =1 处取得极大值，则实数 a 的取值范 围为（ ） A． (- ¥，- 3) B． (- 3，+¥) C． (- ¥，3) D． (3，+¥) 2.已知函数 f (x) =2mx - 4ln x . 7 （1）当 m =1时，求 f (x) 的单调递增区间； （2）若 f (x) 与 g(x) =12 mx2 +2x 的图象上恰有两对关于 y 轴对称的点，求 m 的取值范围. 设计意图 加强学生运用新知识的意识，学以致用，培养学生解决问题的能力和调动学生学习的积极性，提高学生思维的广度. B 组 1.已知函数 f (x) =exx +a(a £ 0) 且 f (1) ×f (- 1) =- 1. ⑴求函数 f (x) 的单调区间； ⑵证明 ln x >e1x - ex2 . 设计意图 含参数函数单调性的讨论，注意导数的应用，注意学生书写的规范性，尤其是定义域优先，单调区间的正确形式.对于(2)不等式的证明，让学生注意证明方法的多样性.照顾学有余力的学生，体现因材施教. 8 学科网（北京）股份有限公司 $$