4.1 数列的概念1(概念、通项公式)-【基础过关系列】2022-2023学年高二数学同步精品讲义与分层练习(人教A版2019选择性必修第二册)

4.1 数列的概念1(概念、通项公式) 1数列的概念 定义：数列是按照一定次序排列的一列数； 数列的项：数列中的每一个数叫做这个数列的项，第一项常称为首项； 数列的表示：数列的一般形式可以写成，简记. 解析 与集合中元素的性质相比较，数列中的项也有三个性质： ①确定性：一个数在不在数列中，即一个数是不是数列中的项是确定的．(与集合相同) ②可重复性：数列中的数可以重复．(与集合不同)如数列，而由组成的集合是． ③有序性：一个数列不仅与构成数列的“数”有关，而且与这些数的排列次序有关．(与集合不同)如与代表不同的数列，而集合与却是相同的． 【例】下列说法错误的是(　　) A．数列的首项是 B．数列中，若，则从第项起，各项均不等于 C．数列与数列不相同 D．数列的第项 答案 2 数列的分类 分类标准 名称 含义 例子 按项的个数 有穷数列 项数有限的数列 无穷数列 项数无限的数列 按项的大小 递增数列 递减数列 常数列 每项都相等的数列 摆动数列 每项的大小忽大忽小的数列 【例】判断以下数列的类型 (1) ；(2) ；(3) 答案 (1)递增数列，有穷数列；(2)递减数列，无穷数列；(3)常数列，无穷数列 3通项公式 如果数列的第项与序号之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式. 解析 与是不同的概念，表示数列，而表示的是数列的第项； 数列的项与它的项数是不同的概念，数列的项是指这个数列中的某一个确定的数，它是一个函数值；而项数是指这个数在数列中的位置序号，它是自变量的值. (3)一个数列的通项公式可以有不同的形式，比如数列，…，其通项公式可以是等. 【例1】已知数列，则这个数列的一个通项公式是(　　) A． B． C． D． 答案 【例2】数列中，，则等于 . 答案 4数列与函数的关系 数列就是定义在正整数集(或它的有限子集)上的函数，其图象是一系列有限或无限孤立的点. 如 数列与函数的比较 定义域 图象 增减性 递增数列 在递减，在递增 最值 最小项，无最大项 最小值，无最大值 日后研究数列性质可以从函数角度出发，比如单调性，最值等. 【题型1】数列的概念 【典题1】下列叙述正确的是(　　) A．数列与是同一数列 B．数列的通项公式是 C．是常数列 D．是递增数列，也是无穷数列 解析 根据题意，依次分析选项： 对于、数列与数列中顺序不同，不是同一数列，故错误； 对于、数列的通项公式是，故错误； 对于、常数列的通项为，则不是常数列，故错误； 对于、是递增数列，也是无穷数列，故正确． 故选：． 【巩固练习】 1.下列说法不正确的是(　　) A．数列不一定有通项公式 B．数列的通项公式不一定唯一 C．数列可以用一群孤立的点表示 D．数列的项不能相等 答案 解析 根据题意，依次分析选项： 对于，数列不一定有通项公式，如某班级每天消耗的文具数量，正确； 对于，数列的通项公式可以有多个，不一定唯一，正确； 对于，数列中为正整数，可以用一群孤立的点表示，正确； 对于，数列的项的可以相等，错误； 故选：． 2.下列说法正确的是(　　) A．数列是一个摆动数列 B．数列可以表示为 C．和是相同的概念 D．每一个数列的通项公式都是唯一确定的 答案 解析 根据摆动数列的概念，正确； 数列不能表示为集合， 数列和元素顺序有关，集合和元素顺序无关，故错误． 表示数列的全部的项，而 表示数列的第项，不是同一概念，故错； 数列的通项公式可以有多个，错误． 故选：． 【题型2】 根据数列的前几项写出数列的一个通项公式 【典题1】 写出下列数列的一个通项公式： ； ，，，； ； 解析 分解结构法 数列每项可分解成符号和项的绝对值相乘得到， 序号 符号 绝对值 项 故；(奇偶性的符号变换规律可考虑或). 数列，，，每项可分解成分子和分母相除得到， 序号 分子 分母 项 (分子相邻数之间的差是，是等差数列；分母相邻数之间是倍的关系，是等比数列) 故 变形法 数列中若每项减去，则变成， 这些数都是完全平方数，易想到数列的通项是， 则原数列只需要在这基础上加回便可，即. (4)数列中若每项加上， 则变成， 再每项乘以，变成 其中，，， 则其通项， 要求原数列的通项