专题02 二次根式【考点精讲】（课件+讲义）-【中考高分导航】备战2023年中考数学考点总复习（全国通用）

考点02 二次根式 一、二次根式及相关概念 1．二次根式：形如(a ≥0 )的式子叫做二次根式． 2．最简二次根式：最简二次根式必须同时满足以下条件： （1）被开方数的因数是整数，因式是整式； （2）数被开方数不含分母，被开方数不含能开得尽方的因或因式． 3．同类二次根式：几个二次根式化成 最简二次根式 后，如果 被开方数 相同，这几个二次根式称为同类二次根式．如与是同类二次根式．同类二次根式可以合并，合并同类二次根式与合并同类项类似． 二、二次根式的性质 （1）()2＝a(a≥0)． （2）＝＝ （3）＝·(a≥0，b≥0)． （4）(a≥0，b>0)． （5）双重非负性：二次根式⇒ 三、二次根式的运算 1．二次根式的加减：先将各二次根式化为 最简二次根式 ，然后合并同类二次根式． 2．二次根式的乘除 （1）二次根式的乘法：·＝ (a≥0，b≥0)；(2)二次根式的除法：＝ (a≥0，b＞0)； （3）二次根式的运算结果一定要化成 最简二次根式或整式． 3．二次根式的开方：＝ 4．二次根式的混合运算 在进行二次根式的混合运算时，应注意以下几点： （1）二次根式的混合运算顺序与实数的运算顺序相同，即先乘方，再乘除，最后算加减，有括号要先去括号； （2）加法的交换律、结合律，乘法的交换律、结合律和对加法的分配律在二次根式的混合运算中仍然适用； （3）多项式的乘法公式仍然适合于二次根式的运算； （4）二次根式混合运算的结果要化为最简二次根式． 【考点1】二次根式的概念 【例1】（2022·江苏连云港）函数中自变量的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，即可求解． 【解析】解：∵，∴．故选A． 【例2】下列二次根式中，与是同类二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据同类二次根式的定义，先化简，再判断． 【解析】A.与的被开方数不相同，故不是同类二次根式； B.，与不是同类二次根式； C.，与被开方数相同，故是同类二次根式； D.，与被开方数不同，故不是同类二次根式． 故选：C． 【例3】下列各式是最简二次根式的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据最简二次根式的定义即可求出答案． 【解析】解：A、是最简二次根式，故选项正确； B、=，不是最简二次根式，故选项错误； C、，不是最简二次根式，故选项错误； D、，不是最简二次根式，故选项错误； 故选A. 牢记二次根式相关概念： 1．二次根式：式子叫做二次根式.注意被开方数a只能是非负数. 2．最简二次根式：被开方数不含分母，被开方数不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式. 3．同类二次根式：化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式，叫做同类二次根式. 1．（2022·湖南衡阳）如果二次根式有意义，那么实数的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次根式中的被开方数是非负数求解可得． 【详解】根据题意知≥0，解得，故选：B． 2．（2022·广西桂林）化简的结果是（       ） A．2 B．3 C．2 D．2 【答案】A 【分析】将被开方数12写成平方数4与3的乘积，再将4开出来为2，易知化简结果为2． 【详解】解：＝2， 故选：A． 3．下列各式中与是同类二次根式的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据同类二次根式的概念逐一判断即可. 【详解】解：A、和是最简二次根式，与的被开方数不同，故A选项错误； B、，3不是二次根式，故B选项错误； C、，与的被开方数相同，故C选项正确； D、，与的被开方数不同，故D选项错误； 故选：C. 4．（2022·云南）若代数式有意义，则实数x的取值范围是______． 【答案】x≥﹣1 【分析】根据二次根式有意义的条件可得：x+1≥0，即可求得． 【详解】解：∵代数式有意义∴x+1≥0，∴x≥﹣1．故答案为：x≥﹣1． 5．（2022·四川南充）若为整数，x为正整数，则x的值是_______________． 【答案】4或7或8 【分析】根据根号下的数大于等于0和x为正整数，可得x可以取1、2、3、4、5、6、7、8，再根据为整数即可得的值． 【详解】解：∵∴ ∵为正整数∴可以为1、2、3、4、5、6、7、8 ∵为整数∴为4或7或8故答案为：4或7或8． 【考点2】二次根式的性质 【例4】（2021·湖南娄底