第03讲 利用函数的奇偶性、周期性和单调性求解函数问题（十种题型）-冲刺2023年高考数学热点、重难点题型解题方法与策略+真题演练（新高考专用）

第03讲 利用函数的奇偶性、周期性和单调性求解函数问题（十种题型） 【热点、重难点解题方法与策略】 一．函数单调性的性质与判断 【知识点的认识】 一般地，设函数f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2， 当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是增函数；当x1＞x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是减函数． 若函数f（x）在区间D上是增函数或减函数，则称函数f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y＝f（x）的单调区间． 【解题方法点拨】 证明函数的单调性用定义法的步骤：①取值；②作差；③变形；④确定符号；⑤下结论． 利用函数的导数证明函数单调性的步骤： 第一步：求函数的定义域．若题设中有对数函数一定先求定义域，若题设中有三次函数、指数函数可不考虑定义域． 第二步：求函数f（x）的导数f′（x），并令f′（x）＝0，求其根． 第三步：利用f′（x）＝0的根和不可导点的x的值从小到大顺次将定义域分成若干个小开区间，并列表． 第四步：由f′（x）在小开区间内的正、负值判断f（x）在小开区间内的单调性；求极值、最值． 第五步：将不等式恒成立问题转化为f（x）max≤a或f（x）min≥a，解不等式求参数的取值范围． 第六步：明确规范地表述结论 【命题方向】 从近三年的高考试题来看，函数单调性的判断和应用以及函数的最值问题是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度中等偏高；客观题主要考查函数的单调性、最值的灵活确定与简单应用，主观题在考查基本概念、重要方法的基础上，又注重考查函数方程、等价转化、数形结合、分类讨论的思想方法．预测明年高考仍将以利用导数求函数的单调区间，研究单调性及利用单调性求最值或求参数的取值范围为主要考点，重点考查转化与化归思想及逻辑推理能力． 二．函数奇偶性的性质与判断 【知识点的认识】 ①如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数，其图象特点是关于（0，0）对称．②如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数，其图象特点是关于y轴对称． 【解题方法点拨】 ①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量； ②奇函数：若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数； ③偶函数：在定义域内一般是用f（x）＝f（﹣x）这个去求解； ④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反． 例题：函数y＝x|x|+px，x∈R是（　　） A．偶函数 B．奇函数 C．非奇非偶 D．与p有关 解：由题设知f（x）的定义域为R，关于原点对称． 因为f（﹣x）＝﹣x|﹣x|﹣px＝﹣x|x|﹣px＝﹣f（x）， 所以f（x）是奇函数． 故选B． 【命题方向】函数奇偶性的应用． 本知识点是高考的高频率考点，大家要熟悉就函数的性质，最好是结合其图象一起分析，确保答题的正确率． 三．奇偶性与单调性的综合 【知识点的认识】 对于奇偶函数综合，其实也并谈不上真正的综合，一般情况下也就是把它们并列在一起，所以说关键还是要掌握奇函数和偶函数各自的性质，在做题时能融会贯通，灵活运用．在重复一下它们的性质 ①奇函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），其图象特点是关于（0，0）对称．②偶函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），其图象特点是关于y轴对称． 【解题方法点拨】 参照奇偶函数的性质那一考点，有： ①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量； ②奇函数：若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数； ③偶函数：在定义域内一般是用f（x）＝f（﹣x）这个去求解； ④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反 例题：如果f（x）＝为奇函数，那么a＝　　． 解：由题意可知，f（x）的定义域为R， 由奇函数的性质可知，f（x）＝＝﹣f（﹣x）⇒a＝1 【命题方向】奇偶性与单调性的综合． 不管出什么样的题，能理解运用奇偶函数的性质是一个基本前提，另外做题的时候多多总结，一定要重视这一个知识点． 四．函数的周期性 【知识点的认识】 函数的周期性定义为若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x）＝f（x+T） 恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期．常函数为周期函数，但无