线面平行、面面平行的性质定理与线线垂直 讲义-2023届高考数学一轮复习突破基础中档120分（立体几何）

线面平行、面面平行的性质定理与线线垂直 线面平行、面面平行的性质定理 知识与方法 1.线面平行的性质定理：，，，如图1. 2.面面平行的性质定理：，，，如图2. 3.不少同学对线面平行，面面平行的判定比较熟悉，而对相关的性质定理不熟悉，也不会用．那么到底何时该用线面平行、面面平行的性质定理呢?有三点我们要抓住： （1）需要证明线线平行； （2）几何体中存在某条直线是以面面相交的方法产生的，或某个点是以线面交点的形式给出的； （3）题干已经给出了线面平行或面面平行这类条件. 具备上述三个特征之一，就可以考虑用线面平行、面面平行的性质定理来解决问题. 提醒：本节的题目是截取真题的一个小问，题干所给条件可能有多余，这些条件是用于其余小问的. 题组一 1.（★★★） 如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面平面，点M在线段上，平面，，.求证：M为的中点. 2.（★★★） 四面体及其三视图如图所示，平行于棱，的平面分别交四面体的棱，，，于点E，F，G，H.证明：四边形是矩形. 3.（★★★） 如图所示，在三棱锥中，平面，，D，C，E，F分别是，，，的中点，，与交于点G，与交于点H，连接.求证：. 4.（★★★） 如图所示，在多面体中，四边形，，均为正方形，E为的中点，过点，D，E的平面交于点F.证明：. 证明线线垂直 知识与方法 证明线线垂直，一般是通过证明其中一条直线垂直于另一条直线所在的平面来完成的. 提醒： （1）本节的题目是截取真题中的一个小问，题干所给条件可能有些多余，这些条件是用于后续小问的. （2）本节部分题目答案中用了向量法，没学空间向量的文科同学忽略即可. 题组一 1.（★★） 如图，在三棱锥中，，，，，求证：. 2.（★★） 如图，在三棱柱中，，，.证明：. 3.（★★★） 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，底面.证明：. 4.（★★★） 如图，在直三棱柱中，，D是棱的中点，. 证明：. 5.（★★★） 如图，四棱锥的底面是边长为2的菱形，.已知，.证明：. 6.（★★★） 如图，已知正三棱柱的底面边长为2，侧棱长为，点E在侧棱上，点F在侧棱上，且，.求证：. 题组二 7.（★★★） 如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧面底面，，，.证明：. 8.（★★★） 如图，在三棱柱中，点在平面内的射影D在上，，，.证明：. 学科网（北京）股份有限公司 $ 线面平行、面面平行的性质定理与线线垂直 线面平行、面面平行的性质定理 知识与方法 1.线面平行的性质定理：，，，如图1. 2.面面平行的性质定理：，，，如图2. 3.不少同学对线面平行，面面平行的判定比较熟悉，而对相关的性质定理不熟悉，也不会用．那么到底何时该用线面平行、面面平行的性质定理呢?有三点我们要抓住： （1）需要证明线线平行； （2）几何体中存在某条直线是以面面相交的方法产生的，或某个点是以线面交点的形式给出的； （3）题干已经给出了线面平行或面面平行这类条件. 具备上述三个特征之一，就可以考虑用线面平行、面面平行的性质定理来解决问题. 提醒：本节的题目是截取真题的一个小问，题干所给条件可能有多余，这些条件是用于其余小问的. 题组一 1.（★★★） 如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面平面，点M在线段上，平面，，.求证：M为的中点. 证明：如图，设与交于点O，连接. 因为为正方形，所以O为的中点. 因为平面，平面，平面平面，所以. 因为O为的中点，所以M为的中点. 【提炼】本题已知平面，属于知识与方法中提到的三个特征之一，可以用线面平行的性质定理. 2.（★★★） 四面体及其三视图如图所示，平行于棱，的平面分别交四面体的棱，，，于点E，F，G，H.证明：四边形是矩形. 【1230】证明：由题意，平面，平面，平面平面，所以. 因为平面，平面平面，所以，所以. 同理得，所以四边形为平行四边形. 由三视图可得上平面，，所以平面，故，即四边形为矩形. 【提炼】本题E，F，G，H均为以线面交点形式给出的点﹐且已知了平面，平面，满足知识与方法中提到的三特征，故用线面平行的性质定理证线线平行. 3.（★★★） 如图所示，在三棱锥中，平面，，D，C，E，F分别是，，，的中点，，与交于点G，与交于点H，连接.求证：. 证法1：因为E，F分别是，的中点， 所以.同理得，所以. 因为平面，平面，所以平面. 因为平面，平面平面， 所以，所以. 证法2：由题意，得，为的两条中线， 所以点G为的重心，所以. 同理得，所以，所以. 又因为C，D分别为，的中点， 所以，所以. 【提炼】通过分析，可以发现本题中直线是平面和平面的交线，属于知识与方法中提到的三特征之一，可以用线面平行的性质定理，但本题并未已知线面平行，所以得先自行证明平面. 4.（★★★） 如图所示，在多面体中，四边形，，均为正方