易错点13 圆锥曲线及直线与圆锥曲线位置关系-备战2023年高考数学考试易错题（新高考专用）

专题13 解析几何 易错分析 一、设直线的点斜式或斜截式方程忽略判断斜率是否存在致错 1．直线l过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F(1,0)，且与C交于A，B两点，则p＝_______，＋＝________. 【错解】设直线的方程为l：y＝k(x－1)，代入抛物线方程，得k2x2－2(k2＋2)x＋k2＝0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2＝1，＋＝＝＝ ＝＝1.综上，＋＝1. 答案：2　1 【错因】未考虑直线斜率不存在的情况， 【正解】由＝1，得p＝2. （1） 当直线l的斜率不存在时，l：x＝1，与y2＝4x联立解得y＝±2， 此时|AF|＝|BF|＝2，所以＋＝＋＝1； （2） 当直线l的斜率存在时，设l：y＝k(x－1)，代入抛物线方程， 得k2x2－2(k2＋2)x＋k2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2＝1， ＋＝＝＝＝＝1. 综上，＋＝1. 答案：2　1 2．若直线l与椭圆C：＋＝1.交于A，B两点，且|＋|＝|－|，求证：直线l与某个定圆E相切，并求出定圆E的方程． 【错解】∵|＋|＝|－|，∴⊥，则. 设直线l的方程为y＝kx＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 联立得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－6＝0， 则Δ＝16k2m2－4(1＋2k2)(2m2－6)>0，化简得m2<6k2＋3　(*)， 由根与系数的关系得x1＋x2＝－，x1x2＝， 则y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝， 由·＝0，即x1x2＋y1y2＝0，可得＋＝0， 整理得m2＝2k2＋2，满足(*)式，∴＝，即原点到直线l的距离为， ∴直线l与圆x2＋y2＝2相切．综上所述，直线l与圆E：x2＋y2＝2相切． 【错因】未考虑直线斜率不存在的情况， 【正解】证明：∵|＋|＝|－|，∴⊥，则. ①当直线l的斜率不存在时，设l：x＝t，代入椭圆方程得y＝±， 不妨令A，B，由·＝0得t2－3＋＝0， 解得t＝±，此时l：x＝±，与圆x2＋y2＝2相切； ②当直线l的斜率存在时，设l：y＝kx＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 联立得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－6＝0， 则Δ＝16k2m2－4(1＋2k2)(2m2－6)>0，化简得m2<6k2＋3　(*)， 由根与系数的关系得x1＋x2＝－，x1x2＝， 则y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝， 由·＝0，即x1x2＋y1y2＝0，可得＋＝0， 整理得m2＝2k2＋2，满足(*)式，∴＝，即原点到直线l的距离为， ∴直线l与圆x2＋y2＝2相切．综上所述，直线l与圆E：x2＋y2＝2相切． 二、当直线的斜率存在时忽略判断斜率是否为零致错 3．若过点Q的直线l交椭圆C：＋y2＝1.于A，B两点，证明：＋为定值． 【错解】设直线AB的方程为x＝ty－，点A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立 消去x得(t2＋2)y2－y－＝0，则Δ＝t2＋(t2＋2)>0恒成立，由根与系数的关系， 得y1＋y2＝，y1y2＝－，所以＋＝＋＝ ＝＝＝＝×＝3. 综上，＋＝3为定值． 【错因】未考虑斜率为零的情况， 【正解】（1）当直线AB的斜率为零时，点A，B为椭圆长轴的端点， 则＋＝＋＝ ＝＝3； （2） 当直线AB不与x轴重合时，设直线AB的方程为x＝ty－，点A(x1，y1)，B(x2，y2)， 联立消去x得(t2＋2)y2－y－＝0，则Δ＝t2＋(t2＋2)>0恒成立， 由根与系数的关系，得y1＋y2＝，y1y2＝－， 所以＋＝＋＝＝ ＝＝＝×＝3. 综上，＋＝3为定值． 三、忽略圆锥曲线几何性质致错 4．已知P在椭圆＋y2＝1上，A(0,4)，则|PA|的最大值为(　　) A. B. C．5 D．2 【错解】选B　设P(x0，y0)，则由题意得＋y＝1，故x＝4(1－y)， 所以|PA|2＝x＋(y0－4)2＝4(1－y)＋y－8y0＋16＝－3y－8y0＋20＝－32＋， 所以当y0＝－时，|PA|2取得最大值，即|PA|的最大值为 . 故选C. 【错因】忽略了椭圆中，本题中－1≤y0≤1， 【正解】选C　设P(x0，y0)，则由题意得＋y＝1，故x＝4(1－y)， 所以|PA|2＝x＋(y0－4)2＝4(1－y)＋y－8y0＋16＝－3y－8y0＋20＝－32＋， 又－1≤y0≤1，所以当y0＝－1时，|PA|2取得最大值25，即|PA|的最大值为5. 5．若椭圆的中心为原点，过椭圆的焦点F(－2,0)的直线l与椭圆交于A，B两点，已知AB的中点为M，则椭圆的长轴长为(　　) A．2 B．4 C. D