6.1任意角及其度量—角度制与弧度制（第2课时）（教学课件）-2022-2023学年高一数学同步精品课堂（沪教版2020必修第二册）

2022-2023学年高一数学同步精品课堂（沪教版2020必修第二册） 第 6 章 三角 6.1任意角及其度量—角度制与弧度制（第2课时） 1 复习回顾： 1.任意角 的概念 正角：射线按逆时针方向旋转形成的角 负角：射线按顺时针方向旋转形成的角 零角：射线不作旋转形成的角 1)把角的顶点放在原点 2)始边重合于X轴的非负半轴 2.象限角 终边落在第几象限就是第几象限角 3 . 终边与 角ａ相同的角 S={β|β=α+k·360°,k∈Z} 例1.按下列要求 ， 将 ７５° 换算成弧度 ： （ １ ） 精确值 ； （ ２ ） 近似值 ． （ 结果精确到 ０． ００１ ） 典例1 例2. 将 ２． １ 弧度换算成角度 ． （ 用度数表示 ， 结果保留两位小数 ） 典例2 （1）把67°30′化成弧度。 （2）把 —π 弧度化成度。 5 3 解： 解： 【练习1】 请同学们根据一些常用特殊角的角度与弧度的对应关系 ， 填写下表 ． 度 00 300 450 1200 1350 1500 3600 弧度 1、对于一些特殊角的度数与弧度数之间的换算要熟记。 注意： 2、用弧度为单位表示角的大小时， “弧度”二字通常省略不写，但用“度”（°）为单位不能省。 3、用弧度为单位表示角时，通常写 成“多少π”的形式。如无特别要求，不用将π化成小数。 正角 负角 零角 正数 负数 0 任意角的集合 实数集R 在弧度和角度的换算过程中 ， 应当注意角度制为 ６０ 进位制 ．例如 ， ３２°１８ ′ 应先换算成 ３２． ３° ， 再换算成弧度 ．在弧度制下 ， 每个角都是一个确定的实数 ， 而每个实数也可以表示一个确定的角 ， 这就构成了角的集合与实数集合之间的一一对应关系 ． 在用弧度制表示角时 ， 通常省略 “ 弧度 ” 两字 ， 只写这个角所对应的弧数 ．例如 ， 角 α 和角 β 的互补关系可以表示为 α ＋ β ＝π ， 而 ｓｉｎ１． ２ 则表示 １． ２ 弧度的角的正弦 ． 引入弧度制使得扇形的弧长和面积公式变得简洁漂亮 ， 更使微积分中的许多公式变得格外简明 ． 例如 ， 如图 ６-１-５ ， 当扇形的圆心角为 n° ， 而半径为 r时 ， 扇形的弧长l和面积S的公式分别为 在使用弧度制后 ， 圆心角相应的弧度为 因此上述公式可分别简化为 例3. 写出终边在 x 轴上的所有角组成的集合 ． （ 用弧度制表示 ） 解：当角 α 的终边在 x轴正半轴上时 ， α ＝２ k π ， k∈Z ； 而当角 α 的终边在 x轴负半轴上时 ， α ＝２ k π＋π ， k∈Z． 所以 ， 所求的角的集合为 ｛ α ｜ α ＝ k π ， k ∈Z ｝ 典例3 锐角： 直角： 钝角： 平角： 周角： 请用弧度制表示下列角度的集合 【练习２】 解 　 因为 α 是第二象限的角 ， 所以 从而有 （ １ ） 当 k为奇数时 ， 设 k ＝２ n ＋１ ， n∈Z ， 就有 （ ２ ） 当 k为偶数时 ， 设k＝2n ， n∈Z ， 就有 典例4 用弧度制表示 （1）终边落在45°角的终边上的所有角的集合 （2）第Ⅱ象限角的集合 【练习３】 例５ 已知扇形的周长为10cm, 面积为4cm2,求 扇形的中心角. 根据题意: ① ② 分析:要求中心角,根据公式 ,需求弧长l及半径R. 解 　 设扇形的中心角的弧度数为 , 弧长为l,半径为R, 由①得 , 代入②得 典例５ 舍去 当R=1时,l=8cm时, 当R=4时,l=2cm时, ∴所求扇形的中心角的弧度数为 利用弧度制证明下列关于扇形公式: 其中R是半径，l是弧长，α(0<α<2π)为圆心角,S是扇形面积. 【练习４】 证明:由公式 　　得l=αR 而圆心角为n°的扇形的弧长公式和面积公式分别是 代入面积公式，得 课本练习 １． 分别将下列角度化为弧度 ： 　　１５° ； －１０８° ；２２°３０ ′ ２． 分别将下列弧度化为角度 ： ３． 已知扇形的弧所对的圆心角为 ５４° ， 且半径为 １０ｃｍ． 求该扇形的弧长和面积 ． 正角 零角 负角 角的集合 实数集R 正实数 0 负实数 我们的研究思路是怎样的？ 课堂小结 角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集之间建立起一一对应的关系： $