专题15 圆锥曲线中的探索性问题与不良结构问题-学霸养成·2023年高考数学压轴大题必杀技系列之圆锥曲线

专题15 圆锥曲线中的探索性问题与不良结构问题 一、考情分析 圆锥曲线中的探索性问题与不良结构问题是近年高考的热点,探索性问题通常为探索是否存在符合的点、直线或结果是否为定值,求解时一般是先假设结论存在,再进行推导,有时也会出现探索曲线位置关系的试题,结构不良问题时,兼顾开放性与公平性,形式不固化,问题条件或数据缺失或冗余、问题目标界定不明确、具有多种评价解决方法的标准等特征,选择不同的条件,解题的难度是有所不同的,能较好地考查学生分析问题解决问题的能力. 二、解题秘籍 (一) 解决探索性问题与不良结构问题的注意事项及方法 1.解决探索性问题的注意事项 探索性问题,先假设存在,推证满足条件的结论,若结论正确则存在,若结论不正确则不存在． (1)当条件和结论不唯一时要分类讨论； (2)当给出结论而要推导出存在的条件时,先假设成立,再推出条件； (3)当条件和结论都不知,按常规方法解题很难时,要开放思维,采取另外合适的方法． 2．存在性问题的求解方法 (1)存在性问题通常采用“肯定顺推法”,将不确定性问题明朗化．其步骤为：假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在,用待定系数法设出,列出关于待定系数的方程组,若方程组有实数解,则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则,元素(点、直线、曲线或参数)不存在． (2)反证法与验证法也是求解存在性问题常用的方法． 3.结构不良问题的主要特征有：①问题条件或数据部分缺失或冗余；②问题目标界定不明确；③具有多种解决方法、途径；④具有多种评价解决方法的标准；⑤所涉及的概念、规则和原理等不确定． 【例1】（2023届江西省赣州厚德外国语学校、丰城中学高三上学期10月联考）已知双曲线经过点,两条渐近线的夹角为,直线交双曲线于两点. (1)求双曲线的方程. (2)若动直线经过双曲线的右焦点,是否存在轴上的定点,使得以线段为直径的圆恒过点？若存在,求实数的值；若不存在,请说明理由. 【解析】（1）两条渐近线的夹角为,渐近线的斜率或,即或； 当时,由得：,,双曲线的方程为：； 当时,方程无解； 综上所述：双曲线的方程为：. （2）由题意得：, 假设存在定点满足题意,则恒成立； 方法一：①当直线斜率存在时,设,,, 由得：,, ,, , , 整理可得：, 由得：； 当时,恒成立； ②当直线斜率不存在时,,则,, 当时,,,成立； 综上所述：存在,使得以线段为直径的圆恒过点. 方法二：①当直线斜率为时,,则,, ,,, ,解得：； ②当直线斜率不为时,设,,, 由得：,, ,, ； 当,即时,成立； 综上所述：存在,使得以线段为直径的圆恒过点. 【例2】（2023届云南省师范大学附属中学高三上学期月考）已知双曲线的右焦点为,从①虚轴长为；②离心率为2；③双曲线的两条渐近线夹角为中选取两个作为条件,求解下面的问题. (1)求的方程； (2)过点的直线与双曲线的左､右两支分别交于两点,为坐标原点,记面积分别为,若,求直线的方程. （注：若选择不同的组合分别解答,则按第一个解答计分.） 【解析】（1）若选①②,可知解得 ∴C的方程为. 若选①③,因为,∴∴ ∴C的方程为. 若选②③,设递增的渐近线的倾斜角为,可知则 此时无法确定a,b,c （2）,由题意知,直线l斜率不为0,∴设直线. 由得, 设,,则可知且恒成立, ,,∴或. ,∴. 由,得,∴, ∴,满足或. ∴直线l的方程为或. (二)是否存在型探索性问题 求解此类问题一般是先假设存在,再根据假设看看能否推导出符合条件的结论. 【例3】（2022届天津市南开中学2高三上学期检测）已知椭圆：的左、右焦点分别为、,且也是抛物线：的焦点,为椭圆与抛物线在第一象限的交点,且． （1）求椭圆的方程； （2）若直线与椭圆交于,两点,问是否在轴上存在一点,使得当变动时,总有？说明理由． 【解析】（1）也是抛物线：的焦点,, ,且抛物线的准线方程为, 设点, ,,, ,, ,解得,, 椭圆方程为； （2）假设存在满足设,, 联立,消整理得, 由韦达定理有,,其中恒成立, 由显然,的斜率存在,故,即, 由,两点在直线上,故,, 代入整理有, 将代入即有：,要使得与的取值无关,当且仅当““时成立, 综上所述存在,使得当变化时,总有． (三) 探索直线是否过定点 求出此类问题一般是设出直线的斜截式方程,然后根据已知条件确定的关系式,再判断直线是否过定点. 【例4】（2022届北京市房山区高三上学期期末）已知椭圆的离心率为,分别为椭圆的上、下顶点,且. （1）求椭圆的标准方程； （2）设直线与椭圆交于（不与点重合）两点,若直线与直线的斜率之和为,判断直线是否经过定点？若是,求出定点的坐标；若不是,说明理由. 【解析】（1）由离心率为,可得 因为为椭圆的上、下顶点,且,