专题13 点差法在圆锥曲线中的应用-学霸养成·2023年高考数学压轴大题必杀技系列之圆锥曲线

专题13 点差法在圆锥曲线中的应用 一、考情分析 圆锥曲线中的中点弦问题是高考常见题型,在处理直线与圆锥曲线相交形成的弦中点的有关问题时,我们经常用到如下解法：设弦的两个端点坐标分别为,代入圆锥曲线得两方程后相减,得到弦中点坐标与弦所在直线斜率的关系,然后加以求解,这即为“点差法”. 二、解题秘籍 (一)求以定点为中点的弦所在直线的方程 求解此类问题的方法是设出弦端点坐标,代入曲线方程相减求出斜率,再用点斜式写出直线方程.特别提醒：求以定点为中点的双曲线的弦所在直线的方程,求出直线方程后要检验所求直线与双曲线是否有2个交点. 【例1】过椭圆内一点引一条弦,使弦被点平分,求这条弦所在直线的方程. 【解析】设直线与椭圆的交点为、 为的中点 　　 又、两点在椭圆上,则, 两式相减得 于是 即,故所求直线的方程为,即. 【例2】已知双曲线,离心率,虚轴长为． (1)求双曲线的标准方程； (2)过点能否作直线,使直线与双曲线交于两点,且点为弦的中点?若存在,求出直线的方程；若不存在,请说明理由． 【解析】(1),,,． ,． ． ∴双曲线的标准方程为． (2)假设以定点为中点的弦存在, 设以定点为中点的弦的端点坐标为,, 可得,． 由,在双曲线上,可得：, 两式相减可得以定点为中点的弦所在的直线斜率为： , 则以定点为中点的弦所在的直线方程为．即为, 代入双曲线的方程可得, 由, 所以不存在这样的直线． (二) 求弦中点轨迹方程 求弦中点轨迹方程基本类型有2类,一是求平行弦的中点轨迹方程,二是求过定点的直线被圆锥曲线截得的弦的中点轨迹方程. 【例3】（2023届湖北省腾云联盟高三上学期10月联考）已知椭圆经过点，且离心率为. (1)求椭圆的标准方程； (2)设过点的直线与椭圆交于，两点，设坐标原点为，线段的中点为，求的最大值. 【解析】（1）椭圆经过点，其离心率为． ，，，， 故椭圆的方程为：； （2）当直线斜率不存在时，M与O重合，不合题意， 当直线斜率存在时，设，，， 则有，，直线的斜率为， ，两点在椭圆上，有，， 两式相减，，即， 得，化简得， ，∴当时， 的最大值为 【例4】直线与圆锥曲线相交所得弦的中点问题,是解析几何重要内容之一,也是高考的一个热点问题. 引理 ：设、是二次曲线上两点,是弦的中点,且弦的斜率存在, 则……（1） ……（2） 由（1）-（2）得 , ∵,, ∴, ∴, ∴, ∴直线的斜率. 二次曲线也包括了圆、椭圆、双曲线、抛物线等． 请根据上述求直线斜率的方法（用其他方法也可）作答下题： 已知椭圆. （1）求过点且被点平分的弦所在直线的方程; （2）过点引椭圆的割线,求截得的弦的中点的轨迹方程. 【解析】（1）设、是椭圆上两点,是弦的中点, 则,两式相减得： , ∵,, ∴, ∴, ∴直线的斜率. 直线AB的方程为,即. 因为在椭圆内部,成立. （2）由题意知：割线的斜率存在,设、是椭圆上两点,是弦的中点, 则,两式相减得： , ∵,, ∴, ∴, ∴直线的斜率 又, 所以 , 化简得：, 所以截得的弦的中点的轨迹方程为 (三) 求直线的斜率 一般来说,给出弦中点坐标,可求弦所在直线斜率 【例5】已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1,F2,点M,N在椭圆C上. (1)若线段MN的中点坐标为,求直线MN的斜率； (2)若M,N,O三点共线,直线NF1与椭圆C交于N,P两点,求△PMN面积的最大值. 【解析】(1)设,则, 两式相减,可得, 则, 解得,即直线MN的斜率为； (2)显然直线NF1的斜率不为0,设直线NF1：,, 联立,消去x整理得,显然, 故,故△PMN的面积 , 令,则,当且仅当,即时等号成立,故△PMN面积的最大值为. 【例6】已知椭圆上不同的三点与焦点的距离成等差数列.（1）求证：；（2）若线段的垂直平分线与轴的交点为,求直线的斜率. 【解析】（1）证 略. （2）解 ,设线段的中点为. 又在椭圆上,,（1）,（2） 得：, . 直线的斜率,直线的方程为. 令,得,即,直线的斜率. (四) 点差法在轴对称中的应用 【例7】（2023届江苏省南京市建邺区高三上学期联合统测）已知O为坐标原点，点在椭圆C：上，直线l：与C交于A，B两点，且线段AB的中点为M，直线OM的斜率为． (1)求C的方程； (2)若，试问C上是否存在P，Q两点关于l对称，若存在，求出P，Q的坐标，若不存在，请说明理由． 【解析】（1）设，则 ∵在椭圆上，则 两式相减得，整理得 ∴，即，则 又∵点在椭圆C：上，则 联立解得 ∴椭圆C的方程为 （2）不存在，理由如下： 假定存在P，Q两点关于l：对称，设直线PQ与直线l的交点为N，则N为线段PQ的中点，连接ON ∵，则，即 由（1）可得，则，即直线 联立方程，解得 即