6.1任意角及其度量（第1课时）（教学课件）-2022-2023学年高一数学同步精品课堂（沪教版2020必修第二册）

2022-2023学年高一数学同步精品课堂（沪教版2020必修第二册） 第 6 章 三角 6.1任意角及其度量 （第1课时） 1 在平面几何中我们已经知道 ， 在一个三角形中 ， 大角对大边 ， 但这只是一个关于边与角之间关系的定性性质 ． 为了定量地刻画三角形的边与角之间的关系 ， 为测量 、 航海及天文等方面的实际应用提供依据 ， 需要引入一个角的正弦 、 余弦 、 正切 、 余切等概念 ， 建立三角学的基本理论 ． 在初中 ， 当一个角为锐角时 ， 已经对有关的概念及结论做了初步的讨论 ， 并介绍了求解直角三角形的方法及其应用 ． 本章将拓展角的概念 ， 并对一个任意给定的角给出其相应的正弦 、 余弦 、 正切 、 余切的定义 ， 学习使用三角恒等变换化简三角表达式 ， 进一步探讨三角形中边与角之间的定量关系 ， 从而有效地解决有关的实际问题 ， 并为下章学习三角函数的性质以及学习解析几何 、 立体几何等后续章节奠定基础 ． 1.通过实例,理解角的概念推广的 必要性 2.理解任意角的概念，根据角的终边旋转方向,能判定正角、负角和零角 学习目标 3.学会建立直角坐标系来讨论任意角,能够根据终边判断象限角,掌握终边相同角的表示方法。体会数形结合的思想 1.锐角的正弦、 余弦、 正切、 余切 由简单的比值关系以及勾股定理 ， 还有如下结论 ： 我们还知道如下一些特殊角的正弦 、 余弦 、 正切 、 余切值（ 表 ６-１ ）： 2.任意角及其度量 在小学和初中我们已经知道 ， 角是具有公共端点的两条射线所组成的图形 ， 角还可以看作是平面上由一条射线绕着其端点从初始位置 （ 始边 ） 旋转到终止位置 （ 终边 ） 所形成的图形 （ 图 ６-１-２ ） ．我们以前学习过的锐角 、 直角 、 钝角 、 平角和周角 ， 其大小都在０° 到 ３６０° 间 ． 不过在体操 、 跳水等体育运动中 ， 会听到转体７２０° 、 转体 １０８０° 等术语 ； 当手表比标准时间慢或者快 １０ 分钟的时候 ， 只需要将分针旋转 ６０° 就可以调节准确 ， 但也有按顺时针和逆时针方向旋转的差异 ． 因此 ， 要准确地刻画这些现象 ， 对于角而言 ， 不但要考察旋转量 ， 而且要考察旋转方向 ， 这就需要适当推广角的概念 习惯上规定 ： 一条射线绕端点按逆时针方向旋转所形成的角为 正角 ， 其度量值是正的 ； 按顺时针方向旋转所形成的角为 负角 ， 其度量值是负的 （ 图 ６-１-２ ） 特别地 ， 当一条射线没有旋转时 ， 我们也认为形成了一个 角 ， 称为 零角 ． 零角的始边与终边重合 ． 这样 ， 我们可将角的概念推广到任意角 ， 包括正角 、 负角与零角 ， 也包括超过 ３６０° 的角 ． 为了便于研究角及与其相关的问题 ， 可将角置于平面直角坐标系中 ， 使得角的顶点与坐标原点重合 ， 角的始边与 x 轴的正半轴重合 ． 此时角的终边在第几象限 ， 就说这个角是第几象限的角 ， 或者说这个角属于第几象限 ． 如图 ６-１-３ ， ６０° 和 ４２０° 都是第一象限的角 ， １３５° 和 －２２５° 都是第二象限的角 ． 当角的终边在坐标轴上时 ， 就不说这些角属于哪一象限 ． 例如 ， 若角 α 是第一象限的角 ， 将其终边绕原点逆时针旋转９０° 后 ， 所得的角 α ＋９０° 是第二象限的角 ； 将其终边绕原点逆时针旋转 １８０° 后 ， 所得的角 α ＋１８０° 是第三象限的角 ； 而将其终边绕原点顺时针旋转 ９０° 后 ， 所得的角 α －９０° 则是第四象限的角 ． 从角的形成过程中可以看到 ， 与某一个角 α 的始边相同且终边重合的角有无数个 ， 它们的大小与角 α 都相差 ３６０° 的整数倍 ．在图 ６１３ 中 ， ６０° 的角和 ４２０° 的角的终边重合 ， 前者与后者之差为 －３６０° ； １３５° 的角和 －２２５° 的角的终边重合 ， 前者与后者之差为 ３６０°． 进一步 ， 我们可以把所有与角 α 的终边重合的角 （ 包括角 α 本身 ） 的集合表示为 　　 例1.判断下列各角分别属于哪个象限 ： （ １ ） －２４０° ； 　　　　　　　 （ ２ ） ２１００°． 解 　 （ １ ） 因为 －２４０°＝－３６０°＋１２０° ， 而 １２０° 的角属于第二象限 ， 所以 －２４０° 的角属于第二象限 ． （ ２ ） 因为 ２１００°＝５×３６０°＋３００° ， 而 ３００° 的角属于第四象限 ， 所以 ２１００° 的角属于第四象限 ． 典例1 【练习1】在 00～3600 范围内，找出与下面各角终边相同的角，并判定它是第几象限角 （1）6600 （2） -9500 解: